В задании № 19 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются нестандартные задачи на числовые последовательности. Ошибки в этой теме обычно возникают из-за непонимания базовых свойств рядов чисел и попыток решать вслепую. Разберём, как устроены свойства арифметической прогрессии и какие алгоритмы помогают справляться с теорией чисел. После прочтения статьи ты поймёшь логику вычислений и сможешь уверенно применять формулы на экзамене.
Основы и теория
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают латинской буквой d.
Формулы для арифметической прогрессии
Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $a_n$ — $n$-й член, $S_n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии. Для работы с арифметической прогрессией важно знать несколько формул:
- Формула $n$-го члена. $a_n = a_1 + d(n-1)$.
- Формулы суммы. $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ и $S_n = \dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Свойства прогрессии
- В арифметической прогрессии любой её элемент равен среднему арифметическому своих соседей: $a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.
- Разность арифметической прогрессии можно вычислить, если известны два её элемента: $d = \dfrac{a_n-a_m}{n-m}$.
Алгоритм решения
Для решения заданий используй следующий пошаговый алгоритм:
- Прочитай условие и выпиши все известные значения элементов (первый член, разность, порядковый номер, сумму).
- Сформулируй вопрос задачи и запиши нужные формулы.
- Подставь числа в формулы и найди нужную величину.
- Проверь ответ на логическое соответствие начальному условию. Например, номер элемента $n$ выражается строго натуральным числом.
Разбор примеров из задания ЕГЭ
В задачах под номером 19 важны правила делимости и понимание прогрессий. Так как в них рассматривают натуральные или целые числа, разность $d$ обязана быть целым числом. Для возрастающей последовательности $d > 0$, а для убывающей $d < 0$.
Рассмотрим решения задач.
Задание 1
Дана возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел.
а) Может ли сумма первых четырёх членов этой прогрессии равняться $34$?
б) Может ли сумма первых четырёх членов этой прогрессии равняться $35$?
в) Найдите наименьшее значение суммы первых четырёх членов, если известно равенство $a_1 + a_3 = 18$.
Решение
Шаг 1. Пункт «а»
Нужно проверить, может ли быть $S_4 = 34$. Запишем формулу суммы для четырёх элементов:
$S_4 = \dfrac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4 = 4a_1 + 6d$
Приравняем полученное выражение к $34$ и разделим равенство на $2$:
$4a_1 + 6d = 34$;
$2a_1 + 3d = 17$.
Достаточно подобрать один подходящий пример. Пусть $d = 3$, тогда:
$2a_1 + 9 = 17$;
$2a_1 = 8$;
$a_1 = 4$.
Последовательность принимает вид: $4$, $7$, $10$, $13$. Сумма натуральных чисел действительно равна $34$.
Ответ: да.
Шаг 2. Пункт «б»
Проверим равенство $S_4 = 4a_1 + 6d = 35$.
Посмотрим на чётность чисел. Значение $4a_1$ всегда кратно двум. Число $6d$ также делится на $2$. Сумма двух чётных чисел даёт чётный результат. Число $35$ является нечётным, следовательно, такое равенство невозможно.
Ответ: нет.
Шаг 3. Пункт «в»
Используем условие:
$a_1 + a_3 = 18$.
Выразим третий элемент через формулу $n$-го члена:
$a_3 = a_1 + 2d$.
Подставим расчёт в исходное равенство:
$a_1 + a_1 + 2d = 18$;
$2a_1 + 2d = 18$;
$a_1 + d = 9$.
Представим сумму четырёх элементов в таком виде и подставим $a_1 + d = 9$:
$S_4 = 4a_1 + 6d = 4(a_1 + d) + 2d$;
$4 \cdot 9 + 2d = 36 + 2d$.
Требуется найти наименьшую сумму для различных натуральных чисел в возрастающем ряду. Подставим $d = 1$ — наименьшее положительное значение. Получится последовательность $8$, $9$, $10$, $11$, её сумма равна $S_4 = 36 + 2 \cdot 1 = 38$.
Ответ: $38$.
Задание 2
Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию. Может ли сумма всех данных чисел равняться $14$?
Решение
Шаг 1. Анализируем условия
Задана возрастающая прогрессия натуральных чисел. Попробуем найти минимально возможные комбинации путём перебора.
- Если $n = 3$, наименьшая возможная сумма получается для последовательности чисел $1$, $2$, $3$, их сумма равна $6$.
- Если $n = 4$, наименьшая сумма равна $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
- Если $n = 5$, наименьшая сумма составит $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
Так как $15$ больше $14$, $n$ не может превышать $4$.
Шаг 2. Вычисляем значения
Рассмотрим $n = 4$, запишем формулу для $S_4$:
$4a_1 + 6d = 14$;
$2a_1 + 3d = 7$.
Пусть $d = 1$:
$2a_1 + 3 = 7$;
$2a_1 = 4$;
$a_1 = 2$.
Получили последовательность $2$, $3$, $4$, $5$, сумма которой равна $14$.
Ответ: да.
Типичные ошибки экзамена
Изучи ловушки, чтобы уверенно получить баллы на ЕГЭ.
- Путаница между номером и значением. Строго отделяй $a_n$ (число в ряду) от переменной $n$ (его порядковое место) и не заменяй одно на другое при решении.
- Игнорирование типа чисел. Словосочетание «натуральные числа» исключает ноль, отрицательные ответы и дроби. После получения ответа дополнительным шагом проверяй его соответствие условию.
- Потеря знака минус. Последовательность может убывать, тогда разность $d$ отрицательна.
- Ответ без обоснования. Если в пунктах «а» и «б» ответ «да», достаточно привести пример, при котором условие выполняется. Но если ответ «нет», это обязательно нужно доказать. В пункте «в» важно вывести полученный ответ и подобрать реальный пример числовой последовательности, который подходит под него.
Проверка знаний
Реши несколько заданий самостоятельно, чтобы закрепить изученный материал.
Задача 1. Первый член последовательности равен $5$, а шаг равен $4$. Найди десятый элемент.
В формулу $a_n = a_1 + d(n-1)$ подставим $a_1 = 5$, $d = 4$, $n = 10$:
$a_{10} = 5 + 4 \cdot (10-1) = 5 + 4 \cdot 9 = 5 + 36 = 41$.
Ответ: $41$.
Задача 2. Первый член последовательности равен $2$, а пятый член $14$. Вычисли разность прогрессии.
Воспользуемся формулой $d = \dfrac{a_n-a_m}{n-m}$, в которую подставим $a_1 = 2$ и $a_5 = 14$.
$d = \dfrac{a_5-a_1}{5-1} = \dfrac{14-2}{4} = 3$.
Ответ: 3.
Задача 3. Дана последовательность из первых ста натуральных нечётных чисел. Вычисли её сумму.
Нечётные числа образуют ряд $1$, $3$, $5$ и так далее.
Здесь $a_1 = 1$, $d = 2$, $n = 100$.
Применим формулу суммы:
$S_{100} = \dfrac{2 \cdot 1 + 2 \cdot (100-1)}{2} \cdot 100 = (2 + 2 \cdot 99) \cdot 50 = (2+198) \cdot 50 = 200 \cdot 50 = 10000$.
Ответ: 10000.
После изучения этого материала можно уверенно решать задачи из девятнадцатого номера профильного ЕГЭ. Теперь ты умеешь:
- применять формулы для нахождения любого элемента и суммы арифметической прогрессии;
- решать типовые задания на арифметическую прогрессию, в том числе номер 19 из ЕГЭ;
- верно оформлять решение задания и не попадаться в ловушки.
Чтобы закрепить тему, реши 5–7 аналогичных заданий разных типов из банка экзаменационных задач.
