Экономические задачи на кредиты в профильном ЕГЭ по математике часто вызывают трудности из-за большого количества процентов, выплат и остатков долга. Если пытаться держать все данные в голове, легко перепутать, на какую сумму начисляется процент и что остаётся после платежа. Таблица помогает разложить движение долга по периодам и быстрее составить уравнение. Разберём, как устроены такие задачи и как применять табличный способ на экзамене.
Как работает кредит
Любая кредитная задача строится на трёх действиях:
- Банк начисляет процент на текущий остаток долга.
- Клиент вносит выплату.
- Долг уменьшается.
Этот цикл повторяется до полного погашения кредита.
Основные переменные
Для решения удобно сразу ввести обозначения:
- $S$ — изначальная сумма кредита;
- $r$ — процентная ставка банка;
- $X$ — сумма регулярной выплаты.
Часто используют повышающий коэффициент $k$. Если банк начисляет $r$ процентов, то сумма долга увеличивается в $k$ раз:
$k = 1 + \dfrac{r}{100}.$
Например, если ставка равна 10%, то $k = 1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1.$
Значит, перед выплатой долг становится в $1{,}1$ раза больше.
Аннуитетные и дифференцированные платежи
В кредитных задачах обычно используется один из двух способов выплаты долга.
Аннуитетная схема означает, что клиент выплачивает кредит равными платежами. Переменная $X$ остаётся одной и той же каждый год или месяц.
Дифференцированная схема означает, что основной долг уменьшается на одну и ту же величину. Выплаты при этом разные, потому что процент каждый раз начисляется на новый остаток долга.
Как построить таблицу
Таблица нужна, чтобы не потерять порядок действий: сначала начисляются проценты, потом происходит выплата, затем фиксируется остаток долга.
Удобная структура выглядит так:
| Период | Долг после начисления процентов | Выплата клиента | Остаток долга после выплаты |
|---|---|---|---|
| Первый месяц или год | |||
| Второй месяц или год | |||
| Последний месяц или год |
Заполнять таблицу лучше постепенно: первый период, второй период, затем общий вид или последний период. Так проще увидеть закономерность и составить итоговое уравнение.
Алгоритм решения
Этот порядок действий подходит для большинства задач на кредиты:
- Определи схему погашения: равные выплаты или равномерное уменьшение долга.
- Введи обозначения и подпиши, что означает каждая буква.
- Заполни строки таблицы для первых периодов.
- Найди закономерность: как меняется долг и на какую сумму начисляются проценты.
- Вырази то, что требуется в задаче: общую сумму выплат, ставку, размер платежа или остаток долга.
- Реши полученное уравнение или неравенство.
- Проверь ответ по смыслу: ставка должна быть положительной, долг в конце должен стать равен нулю.
Разбор задач
Задача с заданным графиком погашения
15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 миллиона рублей. Первого числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов. Со второго по четырнадцатое число нужно сделать выплату. Пятнадцатого числа каждого месяца долг должен составлять строго определённую сумму: 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0. Найдите наибольшее целое значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 миллиона рублей.
Решение
Шаг 1. Здесь промежуточные остатки долга уже известны. Сумма кредита $S$ равна 1 млн рублей.
Шаг 2. Процент каждый раз начисляется на остаток долга предыдущего месяца. Поэтому проценты начисляются на такие суммы:
| Месяц | Остаток долга перед начислением процентов, млн рублей | Начисленные проценты |
|---|---|---|
| Первый | $1$ | $1 \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Второй | $0{,}6$ | $0{,}6 \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Третий | $0{,}4$ | $0{,}4 \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Четвёртый | $0{,}3$ | $0{,}3 \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Пятый | $0{,}2$ | $0{,}2 \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Шестой | $0{,}1$ | $0{,}1 \cdot \dfrac{r}{100}$ |
Шаг 3. Общая сумма выплат состоит из основного долга и всех процентов.
Основной долг равен 1 миллиону рублей.
Сумма процентов:
$\left(1 + 0{,}6 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1\right) \cdot \dfrac{r}{100} = 2{,}6 \cdot \dfrac{r}{100}.$
Шаг 4. По условию общая сумма выплат меньше $1{,}2$ миллиона рублей:
$1 + \dfrac{2{,}6r}{100} < 1{,}2.$
Вычтем 1 из обеих частей:
$\dfrac{2{,}6r}{100} < 0{,}2.$
Умножим обе части на $100$:
$2{,}6r < 20.$
Разделим на $2{,}6$:
$r < \dfrac{20}{2{,}6}.$
Получаем:
$r < 7{,}69\ldots$
Шаг 5. Нужно найти наибольшее целое значение $r$. Это число $7$.
Ответ: 7.
Дифференцированная схема
Планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Долг возрастает на $r$ процентов в месяц. Ежемесячно долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц. Общая сумма выплат на 40% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.
Решение
Шаг 1. Срок кредита составляет 15 месяцев, и долг сокращается одинаковыми порциями. Поэтому тело кредита каждый месяц становится меньше на $\dfrac{S}{15}$.
Шаг 2. В каждый платёж входят две составляющие:
- доля основного долга, равная $\dfrac{S}{15}$;
- проценты, которые начисляются на оставшуюся на этот момент сумму долга.
Шаг 3. Вся переплата по кредиту — это исключительно проценты. Поскольку по условию суммарные выплаты превышают сумму займа на 40%, переплата составляет $0{,}4S$.
Шаг 4.
| Месяц | Долг | Выплата части основного долга | Начисленные проценты на текущий остаток |
|---|---|---|---|
| Первый | $S$ | $\dfrac{S}{15}$ | $S \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Второй | $S-\dfrac{S}{15}=\dfrac{14S}{15}$ | $\dfrac{S}{15}$ | $\dfrac{14S}{15} \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| Третий | $S-\dfrac{2S}{15}=\dfrac{13S}{15}$ | $\dfrac{S}{15}$ | $\dfrac{13S}{15} \cdot \dfrac{r}{100}$ |
| … | … | … | … |
| Пятнадцатый | $S-\dfrac{14S}{15}=\dfrac{S}{15}$ | $\dfrac{S}{15}$ | $\dfrac{S}{15}\cdot \dfrac{r}{100}$ |
Шаг 5. Сложим все проценты:
$\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \left(1 + \dfrac{14}{15} + \dfrac{13}{15} + \ldots + \dfrac{1}{15}\right).$
Шаг 6. В скобках стоит сумма арифметической прогрессии:
$1 + \dfrac{14}{15} + \dfrac{13}{15} + \ldots + \dfrac{1}{15} = \dfrac{15 \cdot \left(1 + \dfrac{1}{15}\right)}{2}.$
Вычислим:
$\dfrac{15 \cdot \dfrac{16}{15}}{2} = 8.$
Шаг 7. Значит, сумма процентов равна
$\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot 8.$
По условию эта сумма равна $0{,}4S$:
$\dfrac{8rS}{100} = 0{,}4S.$
Так как $S \ne 0$, делим обе части на $S$:
$\dfrac{8r}{100} = 0{,}4.$
Получаем:
$0{,}08r = 0{,}4.$
Отсюда:
$r = 5.$
Ответ: 5%.
Типичные ошибки
Процент не переводят в доли
Нельзя умножать остаток долга просто на $r$, если $r$ — это процентная ставка.
Правильная запись: проценты = остаток долга $\cdot \dfrac{r}{100}.$
Если нужно найти долг после начисления процентов, используют коэффициент:
$k = 1 + \dfrac{r}{100}.$
Выписывают все периоды вручную
При большом сроке кредита не стоит расписывать все 24 месяца или все 36 месяцев. Обычно достаточно записать первый, второй и последний периоды, а затем использовать закономерность.
В задачах с равномерным уменьшением долга часто появляется арифметическая прогрессия:
$S,\, \dfrac{14S}{15},\, \dfrac{13S}{15},\, \ldots,\, \dfrac{S}{15}.$
Её сумму удобнее считать по формуле, а не складывать все члены по одному.
Рано переходят к большим числам
Если в условии есть миллионы рублей, лучше сначала считать в миллионах. Например, вместо $1\,000\,000$ можно записать $1$, если все остальные суммы тоже выражены в миллионах.
Также не стоит раскрывать скобки и перемножать большие числа в начале решения. Часто $S$ сокращается, а дроби упрощаются.
Путают остаток до выплаты и после выплаты
Процент начисляется на долг, который был перед очередной выплатой. Если в условии сказано, что после выплаты долг должен стать равен определённой сумме, эту сумму используют как остаток для следующего периода.
Таблица помогает не перепутать эти этапы:
| Этап | Что происходит |
|---|---|
| До начисления процентов | Есть остаток долга с прошлого периода. |
| После начисления процентов | Долг увеличился на процент. |
| После выплаты | Долг уменьшился на сумму платежа. |
Самопроверка
Реши задания, чтобы закрепить табличную логику.
Задача 1. Клиент взял кредит $S$ под 10% годовых. Во сколько раз увеличится долг перед внесением выплаты?
Задача 2. В задаче сказано: долг убывает равномерно в течение 12 месяцев. Какую часть основного долга клиент будет вносить каждый месяц в счёт погашения $S$?
Задача 3. Кредит взят на 2 года, то есть на 24 месяца. Долг убывает равномерно. Чему будет равен остаток долга через два месяца после начала выплат, то есть после внесения второго платежа?
Ответ к задаче 1. Используем формулу $k = 1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1.$ Долг увеличится в $1{,}1$ раза.
Ответ к задаче 2. Каждый месяц основной долг уменьшается на $\dfrac{S}{12}.$
Ответ к задаче 3.
Шаг 1. Изначальный долг равен $S$. Каждый месяц долг уменьшается на $\dfrac{S}{24}.$
Шаг 2. За два месяца он уменьшится на $\dfrac{2S}{24}.$
Шаг 3. Остаток долга $S-\dfrac{2S}{24} = \dfrac{22S}{24} = \dfrac{11S}{12}.$
Заключение
В задачах на кредиты главное — последовательно фиксировать остаток долга, начисленные проценты и выплаты. Таблица помогает увидеть, на какую сумму начисляется процент в каждом периоде, и не перепутать аннуитетную схему с дифференцированной. Теперь ты умеешь вводить переменные, составлять модель кредита, суммировать проценты и проверять итоговый ответ по смыслу. Чтобы закрепить навык, реши несколько похожих задач в «100балльном банке».
