Задачи на числовые последовательности часто вызывают трудности на профильном ЕГЭ по математике. Ошибки обычно возникают из-за зазубривания формул без понимания базовых свойств чисел, что приводит к потере баллов в сложных номерах второй части, например, в задании 19. Разберём теорию геометрической прогрессии и основные алгоритмы решения. Ты узнаешь логику работы с такими последовательностями и сможешь уверенно применять эти знания на экзамене.
Основы и формула n-го члена
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, где первый элемент отличен от нуля, а каждый следующий получается умножением предыдущего на одно и то же число.
Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают латинской буквой $q$. Знаменатель также не может быть равен нулю.
Формула $n$-го члена прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n−1}$
где $b_1$ — первое число ряда, $n$ — номер искомого элемента.
Свойство прогрессии
В геометрической прогрессии квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению его соседей:
$b_n^2 = b_{n−1} \cdot b_{n + 1}$
Формулы суммы геометрической прогрессии
Сумму $n$ первых членов обозначают как $S_n$.
Основная формула:
$S_n = \dfrac{b_1 \cdot (q^n−1)}{q−1}$
Также есть формула, которую можно использовать, когда неизвестно $n$:
$S_n = \dfrac{b_n \cdot q−b_1}{q−1}$
Если значение знаменателя прогрессии по модулю строго меньше единицы ($|q| < 1$), последовательность называется бесконечно убывающей. Так как числа в ней стремятся к нулю, сумма такой прогрессии при бесконечном количестве элементов равна конкретному числу:
$S = \dfrac{b_1}{1−q}$
Пошаговый алгоритм решения задач
Вот универсальный план решения задач:
- Прочитай условие и запиши исходные данные.
- Каждое сложное выражение или далёкий элемент ряда распиши через $b_1$ и $q$ с помощью формулы $n$-го члена.
- Составь систему уравнений. В ней должны остаться только две неизвестные переменные: $b_1$ и $q$.
- Реши систему и найди $b_1$ и $q$.
- Вычисли искомые элементы прогрессии.
Разбор задания 19 профильного ЕГЭ
Рассмотрим решение аналога задания 19 «а».
Пример. Может ли сумма $n$ различных натуральных чисел, составляющих геометрическую прогрессию ($n ≥ 3$), быть равной $14$?
Решение
Шаг 1. Составление модели
Предположим, что $n = 3$: $b_1$, $b_2$, $b_3$. Выразим их через первый элемент $b_1$ и знаменатель $q$:
$b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$
Шаг 2. Запись уравнения
Запишем сумму этих элементов, зная, что она равна $14$:
$S = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot (1 + q + q^2) = 14$
Шаг 3. Подбор решения
Так как по условию числа различные, $q \neq 1$. Возьмём следующее возможное целое значение $q = 2$:
$S = b_1 \cdot (1 + 2 + 2^2) = b_1 \cdot 7 = 14$
Отсюда получили, что $b_1 = 2$.
Шаг 4. Контрольная проверка
Выпишем полученную последовательность: $2$, $4$, $8$.
Все числа натуральные и различные. Их сумма: $2 + 4 + 8 = 14$. Требуемый пример найден, условие выполнено.
Ответ: да, может.
Ловушки и типичные ошибки на экзамене
Обрати внимание на эти моменты, чтобы получить полный балл за решение:
- Натуральные числа. Внимательно читай условия. Если сказано, что ряд состоит из натуральных чисел, то он содержит только положительные целые числа.
- Потеря знаков при отрицательном знаменателе. Если $q < 0$, последовательность будет знакочередующейся. Нужно внимательно следить за знаками при возведении отрицательного числа в чётную и нечётную степени.
- Применение формулы суммы бесконечной прогрессии без проверки. Считать сумму ряда можно по формуле $S = \frac{b_1}{1−q}$, только если известно, что $|q| 1$ эта формула даст неверный ответ.
Задания для самопроверки
Чтобы закрепить материал, реши несколько практических заданий и сверь свои ответы с разбором.
Задание 1. Первый элемент геометрической прогрессии равен $3$, а её знаменатель — $2$. Найди её пятый элемент.
Запишем данные из условия:
$b_1 = 3, \, q = 2$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена и найдём $b_5$:
$b_n = b_1 \cdot q^{n−1}$;
$b_5 = 3 \cdot 2^{5−1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
Ответ: $48$.
Задание 2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член равен $10$, а знаменатель — $0,5$. Найди её сумму.
По условию $b_1 = 10$ и $q = 0,5$. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \dfrac{b_1}{1−q} = \dfrac{10}{1−0,5} = \dfrac{10}{0,5} = 20$.
Ответ: $20$.
Задание 3. Является ли последовательность чисел $5$, $10$, $20$ геометрической прогрессией?
Для любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, выполняется условие:
$b_n^2 = b_{n−1} \cdot b_{n + 1}$.
Подставим $b_1 = 5, \, b_2 = 10$ и $b_3 = 20$ в это соотношение:
$10^2 = 5 \cdot 20$;
$100 = 100$.
Получили верное равенство, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да.
Заключение
После изучения этого материала можно уверенно приступать к задачам на геометрическую прогрессию. Теперь ты умеешь:
- выражать любой элемент прогрессии через первый член и знаменатель;
- применять свойство прогрессии для проверки последовательностей;
- использовать формулы для вычисления суммы элементов;
- анализировать свойства целых чисел и подбирать решения в задании 19 профильного ЕГЭ.
Чтобы надёжно закрепить теорию, рекомендуем решить 5–8 разнотипных задач из нашего банка заданий, опираясь на разобранные алгоритмы.
