Введение
Взгляни на факты: задание №15 профильного ЕГЭ (неравенства) — одно из «дорогих» во второй части. За его правильное решение дают 2 первичных балла, но средний процент выполнения редко превышает 30%. Почему? Потому что большинство тонет в гигантских цепочках преобразований, путается в знаках и ОДЗ… А есть ли способ, который превращает решение логарифмического неравенства из черновика на пол-листа в 5–6 коротких и надёжных шагов? Да, и он официально разрешён. Это метод рационализации (декомпозиции). Прочитай эту статью — и №15 станет твоим «донором» баллов, а не их поглотителем.
Теория «по кусочкам»
1. Суть метода: замена сложного на простое
Попробуй решить классическое неравенство из №15:
$(x − 2) \cdot \log_{0.5}(x^2 − 5x + 6) \ge 0$.
Стандартное решение через совокупность систем займёт 15–20 минут. Метод рационализации позволяет сделать это за 3–4 минуты.
В чём секрет? Метод позволяет легально заменить сложные множители (с логарифмами, переменными в степени) на простые линейные или квадратные скобки, с которыми легко работать методом интервалов.
Аналогия: Это как взять инструкцию на японском (исходное неравенство) и запустить её через качественный переводчик (метод рационализации). Смысл остаётся тем же, а работать с ним в разы проще.
2. Волшебная таблица замен (твой главный инструмент в №15)
Вся «магия» умещается в одну компактную таблицу. Её нужно понять и запомнить.
| Что видим в неравенстве | На что меняем (равносильно!) | Важное условие (ОДЗ!) |
|---|---|---|
| $\log_a f(x) − \log_a g(x)$ | $(a − 1)(f(x) − g(x))$ | $f(x) > 0, g(x) > 0, a > 0, a \neq 1$ |
| $a^{f(x)} − a^{g(x)}$ | $(a − 1)(f(x) − g(x))$ | $a > 0, a \neq 1$ |
| $\log_{h(x)} f(x)$ | $(h(x) − 1)(f(x) − 1)$ | $f(x) > 0, h(x) > 0, h(x) \neq 1$ |
| $\sqrt{f(x)} − \sqrt{g(x)}$ | $f(x) − g(x)$ | $f(x) \ge 0, g(x) \ge 0$ |
Как пользоваться на экзамене:
- Приведи неравенство к стандартному виду: произведение ≥ 0 (или ≤, >, <).
- Каждый «страшный» множитель (логарифм, степень) замени по таблице.
- Решай получившееся простое алгебраическое неравенство методом интервалов.
Рубрика: Объясняем на пальцах
Почему $\log_2 (x − 1) − \log_2 (x − 3) > 0$ превращается в $(2 − 1) \cdot ((x − 1) − (x − 3)) > 0$?
Давай рассуждать логически:
- Основание 2 > 1 — логарифмическая функция возрастает.
- Знак > для разности логарифмов означает: большему логарифму соответствует большее выражение под ним.
- То есть нужно, чтобы (x–1) > (x–3).
- Формула (a–1)(f–g) > 0 при a=2 даёт $1 \cdot ((x−1)−(x−3)) > 0$. Это ровно то же самое условие! Мы просто формализовали логическое рассуждение.
А если основание 0.5?
$log_{0.5}(x−1) − log_{0.5}(x−3) > 0$.
Основание 0.5 < 1 — функция убывает. Чтобы разность была > 0, нужно наоборот: (x–1) < (x–3). Это невозможно!
Формула даст: $(0.5−1) \cdot ((x−1)−(x−3)) > 0 → (−0.5) \cdot 2 > 0 → −1 > 0$. ЛОЖЬ. Всё сошлось! Формула автоматически учла, что основание меньше 1.
Ловушка №1: забудешь ОДЗ — получишь 0 из 2 баллов
Почему снимут баллы: в критериях ЕГЭ чётко прописано: отсутствие учёта ОДЗ (или неверный учёт) ведёт к потере баллов за всё задание, даже если алгебраическое решение идеально.
Пример из реального ЕГЭ:
Дано: $\log_3 (x + 2) \cdot (x^2 − 4) \le 0$.
Ученик решает: $(x + 2 − 1)(x^2 − 4) \le 0$ → $(x + 1)(x − 2)(x + 2) \le 0$.
Получает ответ: x ∈ (–∞; –2] ∪ [–1; 2].
Ошибка: было забыто, что x+2 > 0 (ОДЗ логарифма) → x > –2.
Правильный ответ: x ∈ [–1; 2].
Как не попасться: выписывай ОДЗ самым первым действием, до любых преобразований. На числовой прямой отмечай её отдельно.
Ловушка №2: переменное основание — нужен особый подход
Когда основание логарифма — выражение с x (например, $log_{(x–1)}$ …), нельзя применять замену сразу. Нужно:
- Выписать условие на основание: 0 < h(x) < 1 ИЛИ h(x) > 1.
- Рассмотреть два отдельных случая.
- Для каждого случая решать свою систему (условие на основание + ОДЗ + рационализированное неравенство).
Мини-тест: Для неравенства с $log_{(x−2)}(x+3)$ какое ОДЗ?
$\begin{cases} x − 2 > 0 \\ x − 2 \neq 1 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
$\to x > 2, x \neq 3, x > −3 \to x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$
Запомни: x=3 всегда выколота, так как основание не может быть равно 1.
Примеры решений: от базового до продвинутого (всё из №15)
Пример 1 (базовый, классика ЕГЭ)
Решите неравенство:
$(x − 5) \cdot \log_{0.2}(x − 4) \ge 0$
Шаг 1: выписываем ОДЗ (сразу же!).
Аргумент логарифма > 0: x – 4 > 0 → x > 4.
Шаг 2: приводим к виду «произведение».
Уже есть: $(x − 5) \cdot \log_{0.2}(x − 4) \ge 0$.
Шаг 3: рационализируем второй множитель.
$\log_{0.2}(x − 4)$ — это $\log_{0.2}(x − 4) − \log_{0.2}(1)$.
Заменяем по таблице: (a–1)(f–1), где a=0.2, f=x–4.
Получаем: $(0.2 − 1) \cdot ((x − 4) − 1) = (−0.8) \cdot (x − 5)$.
Шаг 4: подставляем замену в неравенство.
Исходное неравенство равносильно (при ОДЗ x>4):
$(x − 5) \cdot [(−0.8) \cdot (x − 5)] \ge 0$
Упрощаем: $−0.8 \cdot (x − 5)^2 \ge 0$.
Шаг 5: решаем простейшее неравенство.
(x–5)² всегда ≥ 0. Значит, $−0.8 \cdot (x−5)^2 ≥ 0$ только когда $(x−5)^2 = 0 → x = 5$.
Шаг 6: учитываем ОДЗ и записываем ответ.
x=5 входит в ОДЗ (5 > 4).
Ответ: x = 5.
Пример 2 (средней сложности, частый гость в №15)
Решите неравенство:
$\log_{x+1}(2x^2 + 5x + 2) \ge 1$
Шаг 1: ОДЗ (здесь важно всё).
- Основание: x+1 > 0, x+1 ≠ 1 → x > –1, x ≠ 0.
- Аргумент: $2x^2 + 5x + 2 > 0$.
Решаем: $D=25−16=9$, корни $x_1 = −2$, $x_2 = –0.5$.
Значит, $2x^2+5x+2$ > 0 при x ∈ (–∞; –2) ∪ (–0.5; +∞). - Общая ОДЗ: пересекаем все условия:
$\begin{cases} x > −1 \text{ (из основания)} \\ x \neq 0 \\ x \in (−\infty; −2) \cup (−0.5; +\infty) \end{cases}$
Получаем: x ∈ (–0.5; 0) ∪ (0; +∞).
Шаг 2: переносим 1 влево и применяем рационализацию
$\log_{x+1}(2x^2 + 5x + 2) − 1 \ge 0$
Представляем 1 как $\log_{x+1}(x + 1)$:
$\log_{x+1}(2x^2 + 5x + 2) − \log_{x+1}(x + 1) \ge 0$
Теперь это разность логарифмов с переменным основанием a = x+1. Рассмотрим два случая.
Случай А: Основание > 1.
x+1 > 1 → x > 0.
Рационализация разности: (a–1)(f–g) ≥ 0, где $f = 2x^2 + 5x + 2, g = x + 1$.
Получаем: $(x + 1 − 1) \cdot (2x^2 + 5x + 2 − x − 1) \ge 0$.
$x \cdot (2x^2 + 4x + 1) \ge 0$.
Решаем неравенство (учитывая x > 0 из условия случая):
$2x^2 + 4x + 1 = 0 \to D = 16 − 8 = 8 \to x = \frac{−4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{−2 \pm \sqrt{2}}{2}$
На промежутке x > 0 выражение $2x^2 + 4x + 1 > 0$. Значит, при x>0: x * (положительное) ≥ 0 → x ≥ 0.
Учитывая условие случая x > 0, получаем: x > 0.
Случай Б: основание между 0 и 1.
0 < x+1 < 1 → –1 < x < 0.
Применяем ту же самую формулу замены (она универсальна):
$(x + 1 − 1) \cdot (2x^2 + 5x + 2 − x − 1) \ge 0$.
$x \cdot (2x^2 + 4x + 1) \ge 0$ — получили то же самое неравенство.
Теперь решаем его на промежутке –1 < x < 0:
- Корни квадратного трёхчлена: $x = \frac{−2 \pm \sqrt{2}}{2}$.
- На промежутке (−1; 0) выражение $2x^2 + 4x + 1$:
- При $x \in (−1; \frac{−2 − \sqrt{2}}{2})$ — отрицательно.
- При $x \in (\frac{−2 + \sqrt{2}}{2}; 0)$ — положительно.
- Знак x на (−1; 0) — всегда отрицательный.
- Составляем таблицу знаков для $x \cdot (2x^2 + 4x + 1)$ на (−1; 0):
- $(−1; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}): (−) \cdot (−) = (+) \to \ge 0$ ДА.
- $(\frac{−2 + \sqrt{2}}{2}; 0): (−) \cdot (+) = (−) \to \ge 0$ НЕТ.
- $x = \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}$ — даёт 0, входит.
- Учитываем условие случая (−1 < x < 0): $x \in (−1; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}]$.
Важно: проверим, входит ли этот промежуток в ОДЗ? Общая ОДЗ: $(−0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.
$(−1; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}] \cap \text{ОДЗ} = (−0.5; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}]$.
Шаг 3: объединяем решения случаев и сверяем с ОДЗ.
- Из Случая А (x > 0): (0; +∞).
- Из Случая Б $(−0.5 < x \le \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}): (−0.5; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}]$.
- Точка x=0 не входит в ОДЗ.
Итоговый ответ: x ∈ (–0.5; $\frac{–2+\sqrt{2}}{2}$] ∪ (0; +∞).
Пример 3 (показательное, на закрепление метода)
Решите неравенство:
$(2^x − 4)(3^x − 9) ≤ 0$.
Шаг 1: анализируем структуру неравенства.
У нас уже произведение двух множителей. Оба имеют вид $a^{f(x)} – a^c$, где:
- Первый множитель: $2^x − 4 = 2^x − 2^x → a = 2, f(x) = x, c = 2$.
- Второй множитель: $3^x − 9 = 3^x − 3^x → a = 3, f(x) = x, c = 2$.
Это идеальный кандидат для метода рационализации.
Шаг 2: применяем рационализацию к каждому множителю.
По таблице: $a^{f(x)} − a^{g(x)}$ заменяем на $(a − 1)(f(x) − g(x))$.
- Для $2^x − 2^2$: заменяем на $(2 − 1)(x − 2) = 1 \cdot (x − 2)$.
- Для $3^x − 3^2$: заменяем на $(3 − 1)(x − 2) = 2 \cdot (x − 2)$.
Важно: замена равносильна при всех x, так как основания 2 и 3 положительны и не равны 1 (условия ОДЗ для показательной функции автоматически выполнены).
Шаг 3: подставляем замены в исходное неравенство.
Исходное неравенство $(2^x − 4)(3^x − 9) ≤ 0$ равносильно:
$[1 \cdot (x − 2)] \cdot [2 \cdot (x − 2)] ≤ 0$.
Упрощаем: $2 \cdot (x – 2)^2 ≤ 0$.
Шаг 4: решаем элементарное неравенство.
(x – 2)² всегда ≥ 0. Значит, $2 \cdot (x−2)^2 ≤ 0$ выполняется только тогда, когда $(x−2)^2 = 0$.
Отсюда: $x − 2 = 0 → x = 2$.
Шаг 5: проверка (формальность, но хорошая привычка).
Подставляем x = 2 в исходное неравенство:
$(2^2 − 4)(3^2 − 9) = (4−4) \cdot (9−9) = 0 \cdot 0 = 0$. Условие ≤ 0 выполнено.
Ответ: x = 2.
Вопросы для самопроверки (проверь, готов ли ты к №15)
Вопрос 1: Реши неравенство $(x^2 − 1) \cdot log_2(x+3) ≤ 0$.
- ОДЗ: x+3 > 0 → x > –3.
- Рационализация: $log_2(x+3) → (2−1)(x+3−1) = 1 \cdot (x+2)$.
- Исходное равносильно (при x > −3): $(x−1)(x+1) \cdot (x+2) ≤ 0$.
- Метод интервалов на (–3; +∞) с учётом корней –2, –1, 1:
Ответ: x ∈ (–3; –2] ∪ [–1; 1].
Вопрос 2: какая главная ошибка ждёт тебя в неравенстве $log_x(2−x) > 1$?
Нужно рассмотреть два случая для основания:
- 0 < x < 1 (знак неравенства при рационализации изменится из-за (x–1) < 0).
- x > 1.
Плюс строгая ОДЗ: x>0, x≠1, 2–x>0.
Итоговый алгоритм для №15 (распечатай и держи перед глазами)
- ОДЗ — выпиши первым делом. Для каждого логарифма/корня/дроби — свои условия.
- Стандартный вид — перенеси всё в одну сторону, приведи к виду Произведение множителей ⋚ 0.
- Основание постоянно? Да → сразу к шагу 4. Нет → рассматриваешь два случая (0 < a < 1 и a > 1).
- Рационализация — каждый сложный множитель замени по таблице.
- Решение — реши получившееся простое неравенство (квадратное, дробно-рациональное) методом интервалов.
- Пересечение — найди пересечение решения с ОДЗ (и с условием на основание, если оно было).
- Проверка границ — проверь, можно ли включать граничные точки (равенство нулю).
- Чистый ответ — запиши в требуемом виде.
Финальный стратегический совет для ЕГЭ
- На реальном экзамене в №15 обязательно кратко пропиши ОДЗ в решении. Это даст тебе шанс на 1 балл из 2 даже при арифметической ошибке в дальнейшем.
- Потренируйся на 10–15 неравенствах именно из сборников ЕГЭ последних лет. Цель — довести применение таблицы до автоматизма.
- Если видишь переменное основание — мысленно похвали себя: ты знаешь, как это решать, когда большинство пасует. Спокойно разбирай два случая.
Метод рационализации — это твой ключ к уверенному решению №15. Он экономит время, снижает количество ошибок и даёт чёткий алгоритм действий в стрессовой ситуации экзамена. Удачи на ЕГЭ!
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
