Введение
Линейное уравнение — это математическое выражение, имеющее вид:
$ax + b = 0,$
где a и b — известные числа, а x — величина, которую требуется найти.
Главное свойство такого уравнения заключается в том, что переменная x находится в первой степени и присутствует в нём только один раз.
Задание на решение линейного уравнения входит в №9 КИМа ОГЭ по математике и оценивается в 1 балл. Оно относится к категории заданий базового уровня сложности и проверяет навыки алгебраического преобразования и умение находить корень уравнения.
Примеры линейных уравнений
- 2x – 5 = 0
- −x + 7 = 0
- 0.5x = 1.5
- 3(x – 2) + 4 = 7 — после раскрытия скобок превращается в линейное
Как решать линейные уравнения?
Шаг 1. Преобразуй уравнение к общему виду
Если в уравнении присутствуют скобки или дроби, раскрой их и упрости уравнение.
Шаг 2. Собери все члены с неизвестной в одной стороне, а числа без неизвестной — в другой.
Шаг 3. Определи значение неизвестной:
$x = −b / a$
Пример:
$3x − 9 = 0$
- Перенеси число без х вправо: 3x = 9
- Раздели обе стороны на 3:
$x = 3$
Особые случаи
| Вид уравнения | Решение |
|---|---|
| ax + b = 0 | Один корень: x = −b/a |
| 0x + b = 0 | Нет ответов (противоречие) |
| 0x + 0 = 0 | Бесконечно много ответов |
Линейные уравнения в задачах
Линейные уравнения часто встречаются в текстовых задачах на:
- движение (расстояние = скорость × время)
- работу (объём работ = производительность × время)
- покупку и бюджет (стоимость покупки = цена × количество)
- возраст, дроби и проценты
Умение составлять уравнение по условию — важный навык для успешного решения таких задач на экзамене!
Запомни:
- Линейное уравнение имеет не более одного корня.
- Если a = 0, нужно внимательно проверить вид уравнения: оно может не иметь ответа или, наоборот, иметь бесконечно много корней.
Распространённые ошибки
1. Неверное раскрытие скобок
Ошибка: неверное распределение знаков при раскрытии
− (2x − 3) ≠ -2 x – 3
(правильно: −2x + 3)
Как избежать: всегда внимательно следи за знаком «−» перед скобками.
2. Ошибки при переносе слагаемых
Ошибка: при переносе теряется знак
2x + 5 = 11 ⇒ 2x = 11 + 5 (ошибка)
Правильно: 2x = 11 – 5
3. Некорректное деление
Ошибка: деление только одного элемента вместо всего выражения
6x + 2 = 18 ⇒ x = 18 ÷ 6 = 3 (нужно сначала перенести и упростить)
Правильно: 6x = 18 – 2 ⇒ x = (18 − 2) ÷ 6 = 2⅔
4. Неправильная работа с дробями
Ошибка: некорректное сокращение или домножение
x ÷ 3 + 2 = 5 ⇒ x = 3 (пропущено действие)
Правильно: домножь обе части уравнения на 3
x + 6 = 15
x = 9
5. Потеря корня или игнорирование множества решений
Ошибка: уравнение вида 0x = 0 интерпретируется как «нет ответа».
Правильно: такие уравнения имеют бесконечное количество корней.
Как избежать ошибок:
- Всегда проверяй решение подстановкой
- Прописывай каждый шаг на черновике
- Не спеши, особенно с минусами и дробями
Подборка типичных примеров линейных уравнений из ОГЭ по математике с пошаговым разбором:
Решение:
Раскрой скобки: 5x − 10 = 3x + 4
Перенеси все слагаемые с неизвестным в одну сторону: 5x − 3x = 4 + 10
Получи: 2x = 14 ⇒ x = 7
Ответ: x = 7
Решение:
Найди общий знаменатель: домножь обе части на 6:
6(x/3 + 2) = 6(2x − 1)/6 ⇒ 2x + 12 = 2x − 1
Вычтем 2x из обеих частей: 12 = −1 — противоречие
Ответ: решений нет
Решение:
Раскрой скобки: 4x + 7 = 2x + 10
Перенеси: 4x − 2x = 10 − 7 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1.5
Ответ: x = 1.5
Решение:
Обе части одинаковы → тождество
Любое значение x удовлетворяет уравнению
Ответ: x ∈ R — бесконечно много решений
Мини-тест: Линейные уравнения
1. 5x − 7 = 3x + 9
Варианты:
- x = 8
- x = −8
- x = 4
- x = −4
1. x = 8
Объяснение:
5x − 3x = 9 + 7
2x = 16
x = 8
2. х/2 + 3 = 5
Варианты:
- x = 4
- x = 2
- x = -4
- x = -2
1. x = 4
Объяснение:
х/2 = 2
x = 4
3. 3(x − 2) = 2x + 6
Варианты:
- x = 12
- x = 6
- x = 0
- x = -6
1. x = 12
Объяснение:
3x − 6 = 2x + 6
x = 12
4. 4x + 7 = 2(x + 5)
Варианты:
- x = 1.5
- x = 2
- x = 3
- x = 4
1. x = 1.5
Объяснение:
4x + 7 = 2x + 10
2x = 3
x = 1.5
5. (2x − 1)/3 = (x + 2)/2
Варианты:
- x = 5
- x = 4
- x = 3
- x = 8
4. x = 8
Объяснение:
Домножь обе части на 6:
2(2x − 1) = 3(x + 2)
4x − 2 = 3x + 6
x = 8
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
