Определённый интеграл и его свойства: теория и разбор задач

11 класс

Например, задача № 16 по математике

Главная
100балльный учебник
Определённый интеграл и его свойства: теория и разбор задач

300k учеников уже поступили в вуз мечты вместе с нами — теперь твоя очередь!

Понятие определённого интеграла встречается в заданиях профильного ЕГЭ по математике. Главная трудность темы — научиться находить первообразную и применять её геометрический смысл для работы с графиками. В этой статье разберём формулу Ньютона — Лейбница, свойства интегралов и универсальный алгоритм работы, чтобы экзаменационные задания по этой теме перестали казаться сложными.

Основная теория

Пусть существует непрерывная функция $f(x)$ на заданном отрезке от $a$ до $b$. Если у неё есть первообразная $F(x)$, то определённым интегралом называют разность значений этой первообразной на концах отрезка. Неопределённый интеграл — это функция, а определённый интеграл — это всегда конкретное число.

Вычисления производятся через формулу Ньютона — Лейбница:

$\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$

Геометрический смысл определённого интеграла помогает решать часть задач без сложных уравнений. Если функция неотрицательна, то значение её интеграла равно площади криволинейной трапеции $S = \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$. Эта фигура ограничена графиком функции сверху, осью абсцисс снизу, а также двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Площадь криволинейной трапеции под графиком функции на отрезке определённого интеграла

Свойства для вычислений

Знание свойств помогает упростить расчёты и не делать лишнюю работу. Базовые правила выглядят так:

Одинаковые пределы интегрирования дают ноль: $\int_a^a f(x)dx = 0$.
Смена пределов интегрирования местами меняет знак результата на противоположный: $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: $\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$.
Интеграл суммы двух функций равен сумме двух отдельных интегралов. Аналогично это работает для разности: $\int_a^b (f(x) \pm d(x))dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b d(x)dx$.
Отрезок интегрирования можно разбивать на меньшие части. Интеграл на отрезке от $a$ до $b$ равен сумме интегралов на отрезках от $a$ до $c$ и от $c$ до $b$: $\int_a^b (f(x) \pm d(x))dx = \int_a^c f(x)dx \pm \int_c^b f(x)dx$.
Для нечётных функций на симметричном интервале (от $-a$ до $a$) результат всегда равен нулю. Для чётных функций на таком же интервале можно найти интеграл от нуля до $a$ и умножить его результат на два: $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$.

Универсальный алгоритм

Чтобы решать подобные математические задачи без сбоев, используй чёткую последовательность действий:

Найди неопределённый интеграл для заданной функции. На этом шаге не нужно добавлять константу $C$, так как при вычитании она уничтожится.
Запиши полученную первообразную и поставь вертикальную черту с указанием пределов от $a$ до $b$.
Подставь в первообразную верхний предел $b$ и посчитай первое значение.
Подставь в первообразную нижний предел $a$ и вычисли второе значение.
Вычти из первого числа второе. Результат и будет правильным ответом.

Забирай курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ с жирной скидкой

Разбор задач

Рассмотрим применение теории на практике. Для подготовки к экзаменам важно уметь работать с алгебраическими выражениями и графиками.

Классическое алгебраическое вычисление

Условие

Нужно вычислить $\int_1^2 (2x^2 + x-1)dx$.

Решение

Шаг 1. Используем свойство суммы и разности $\int_1^2 (2x^2 + x-1)dx = \int_1^2 2x^2dx + \int_1^2 xdx + \int_1^2 (-1)dx$. Найдём первообразную для каждого слагаемого отдельно. Первообразная для $2x^2$ равна $\frac{2x^3}{3}$, для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$, а для единицы — $x$.

Шаг 2. Запишем конструкцию по формуле Ньютона — Лейбница:

$\int_1^2 (2x^2 + x-1)dx = \left.(\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}-x)\right|_1^2$

Шаг 3. Подставим верхний предел 2 вместо переменной $x$:

$F(2) = \frac{16}{3} + 2-2 = \frac{16}{3}$

Шаг 4. Подставим нижний предел 1:

$F(1) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}-1 = \frac{1}{6}$

Шаг 5. Найдём разность значений:

$F(2)-F(1) = \frac{16}{3}-\frac{1}{6} = \frac{32}{6}-\frac{1}{6} = \frac{31}{6}$

Ответ: $\frac{31}{6}$.

Графическая задача (значения первообразной)

На рисунке изображён график некоторой функции $y = f(x)$. Пользуясь рисунком, вычислите $F(8)-F(2)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функций $f(x)$.
Рисунок к заданию

Решение

Шаг 1. Вспомним геометрический смысл. Разность $F(8)-F(2)$ равна площади выделенной на рисунке трапеции $ABCD$.

Выделенная трапеция под графиком функции для нахождения определённого интеграла

Шаг 2. Вместо интегральных вычислений применим формулу площади трапеции:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Шаг 3. Подставим значения из условия: $\frac{1 + 6}{2} \cdot 2 = 7$.

Логика решения таких номеров строится на простом геометрическом подсчёте площади фигуры.

Ответ: $7$.

Типичные ошибки

Разберём частые ошибки, из-за которых теряются баллы:

Ошибка знака в формуле Ньютона — Лейбница. При вычитании нижнего предела из верхнего могут появиться внутренние минусы. Всегда записывай разность в виде $F(b)-(F(a))$ и подробно раскрывай скобки на следующем этапе.
Игнорирование разрывов функции. Формулу Ньютона — Лейбница разрешено применять только для функции, непрерывной на всём отрезке. Интегрировать гиперболу $\frac{1}{x}$ на отрезке от $-1$ до $1$ прямым способом нельзя. Функция имеет бесконечный разрыв в нуле, и применение стандартной формулы выдаст бессмысленный результат.
Фантомная константа. Помни, что результатом является число. Константа $+ C$ не пишется в ответе, так как она взаимно уничтожается при подстановке пределов.

Задания для самопроверки

Попробуй решить предложенные задания самостоятельно и сверься с ответами.

Задание 1. Найди значение интеграла $\int_{-2}^{-2} (x^4-5x + 7)dx$.

Задание 2. Вычисли площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=1$ и $x=2$, а также графиком $y=3x^2$.

Задание 3. Укажи ошибку в записи: $\int_{-1}^2 5x\, dx = \left.5x^2 \right|_{-1}^2$.

Ответы и решения

Ответ к заданию 1: $0$. Согласно первому свойству интегрирования, если границы совпадают, результат равен нулю. Никаких расчётов производить не нужно.

Ответ к заданию 2: $7$. Расчет: $S = \int_{1}^2 3x^2\, dx = \left.x^3 \right|_{1}^2$. Выполним подстановку и вычитание: $2^3-1^3 = 8-1 = 7$.

Ответ к заданию 3: Ошибка в поиске первообразной. Решение должно состоять из функции $\frac{5x^2}{2}$. Коэффициент $5$ нельзя оставить возле переменной без изменения степени и делителя $\int_{-1}^2 5x\, dx = \left.\frac{5x^2}{2} \right|_{-1}^2$.

Заключение

Теперь ты знаешь, как вычисляется определённый интеграл, и можешь применять эти знания в заданиях профильного ЕГЭ по математике. Ты умеешь находить первообразные с помощью формулы Ньютона — Лейбница, заменять переменные вместе с рабочими пределами, а также применять геометрический смысл интеграла для нахождения площади под графиком. Главное — следить за знаками при вычитании и не пытаться прибавить константу в ответе. Чтобы довести навык до автоматизма и чувствовать себя увереннее, порешай задачи в «100балльном банке» — там собраны тренировочные варианты, которые помогут закрепить теорию на практике.