Введение-крючок
Знаешь, почему даже отличники «спотыкаются» в 19-й задаче ЕГЭ по математике (профиль) или в похожих задачах в ОГЭ? Потому что на 90% эти задачи проверяют не знание сложных формул, а внимание и понимание базовых определений: что такое цифра, а что — число, как правильно читать условие. Статистика показывает, что около 30% ошибок в этих заданиях происходят из-за путаницы в фундаментальных понятиях. Давай разберём эту тему раз и навсегда.
Теория «по кусочкам»
Блок 1: цифра vs число — главное отличие
Это основа всего. Запомни разницу как «буква» и «слово».
- Цифра — это знак, символ для записи чисел. Их всего 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Число — это величина, которая записывается с помощью цифр. 25, 104, 3000 — это числа. В записи числа 25 используются цифры 2 и 5.
Аналогия: цифры — это алфавит. Число — это слово, составленное из букв-цифр.
Пример: в числе 1812 четыре цифры (1, 8, 1, 2), но само число одно.
Блок 2: разряды и десятичная запись
Любое натуральное число можно разложить по разрядам. Это ключ к решению большинства задач.
Формула разложения трёхзначного числа:
$abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$, где a, b, c — цифры (от 0 до 9, причём a ≠ 0).
Что это значит?
Число abc — это не произведение a * b * c, а сумма сотен, десятков и единиц. a — количество сотен, b — десятков, c — единиц.
Пример для числа 475:
475 = 100*4 + 10*7 + 5. Цифра 4 здесь означает не «четвёрку», а четыре сотни.
Рубрика «Простая аналогия»
Задача: «Найдите шестизначное число abcdef, которое делится на…»
Звучит страшно? Давай представим число как пароль от Wi-Fi.
- Каждая буква (a, b, c, d, e, f) — это цифра от 0 до 9 в твоём пароле.
- Весь пароль abcdef — это и есть число.
- Условия задачи (типа «сумма цифр равна 20» или «число делится на 45») — это подсказки для взлома пароля. Твоя задача — подобрать цифры так, чтобы все подсказки сошлись.
Рубрика «Ловушки экзамена»
Ловушка №1: сумма цифр vs сумма чисел
- Как неправильно: «В числе 23 сумма цифр равна 2+3=5». Это правильно.
- Как неправильно: «Пусть у нас числа 12 и 34. Их сумма цифр равна 1+2+3+4=10». А вот это — неправильно! Потому что спрашивают про сумму чисел: 12 + 34 = 46. А сумма цифр этого результата (4+6=10) — это уже другое действие.
Вывод: всегда читай условие внимательно. «Сумма цифр числа» и «сумма чисел» — это разные вещи.
Ловушка №2: a, b, c — это цифры!
- Как писать нельзя: «Если a=1, b=2, c=3, то число abc = 1*2*3 = 6». Грубейшая ошибка!
- Как писать правильно: «Если a=1, b=2, c=3, то число abc = 100*1 + 10*2 + 3 = 123».
Блок: разминка перед боем (простые примеры)
Пример 1 (базовый): пусть дано число 473.
- Вопрос: чему равна сумма его цифр?
- Ответ: 4 + 7 + 3 = 14.
- Важно: это не число 473, а характеристика его записи.
Пример 2 (с подвохом): запишем число в виде 2×5, где x — неизвестная цифра.
- Вопрос: чему равна сумма цифр этого числа?
- Ответ: 2 + x + 5 = 7 + x.
- Вывод: мы работаем с цифрами как с отдельными символами.
Пример 3 (действия): к числу 29 приписали справа цифру 3, получив 293.
- Вопрос: на сколько новое число больше старого?
- Правильный подход: 293 – 29 = 264.
- Ловушка: это не просто «добавили 3». Мы сдвинули разряды исходного числа: 29 – > 290 и прибавили 3.
Разбор сложных задач №19 из ЕГЭ
Задача 1: четыре последовательных числа
Условие: каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. S — это сумма получившихся 4 чисел.
а) Может ли S = 421?
Стратегия: 421 — много. Чтобы сумма была большой, выгодно делить на маленькую цифру (например, на 2). Тогда исходные числа должны быть примерно вдвое больше. Проверим числа вокруг 210, все они содержат цифру 2.
- Решение-пример: 209, 210, 211, 212. Во всех есть цифра 2.
$S = \frac{209}{2} + \frac{210}{2} + \frac{211}{2} + \frac{212}{2} = \frac{209 + 210 + 211 + 212}{2} = \frac{842}{2} = 421$.
Ответ: ДА.
б) Может ли S = 9,2?
Стратегия: 9,2 — очень мало. Нужны маленькие числа и большие делители. Проверим наименьшую возможную сумму для двузначных чисел.
- Решение-доказательство: возьмём наименьшие подходящие: 16,17,18,19. Будем делить на наибольшие их цифры (6,7,8,9).
$S_{min} \approx \frac{16}{6} + \frac{17}{7} + \frac{18}{8} + \frac{19}{9} > 2.6 + 2.4 + 2.25 + 2.1 > 9,2$.
Даже эта сумма больше 9,2. Значит, S=9,2 невозможен.
Ответ: НЕТ.
в) Какое наибольшее S, если числа от 400 до 999?
Стратегия: чтобы S было максимальным, нужно:
- Числа как можно больше (ближе к 999).
- Делить на самую маленькую цифру в числе (идеально — на 1).
- Вывод: все числа должны содержать цифру 1, иначе минимальная цифра будет хотя бы 2, и мы проиграем.
- Оптимальный ряд: ищем наибольшие числа от 900 до 999, содержащие 1. Это 916, 917, 918, 919. Делим каждое на 1.
Smax = 916 + 917 + 918 + 919 = 3670.
Ответ: 3670.
Задача 2: частное числа и суммы его цифр
Условие: дано трёхзначное число (не начинается с 0, не кратно 100). Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным…?
а) 90?
Стратегия: подбор. Нужно число, которое почти в 90 раз больше суммы своих цифр. Подходит 810.
$\frac{810}{8+1+0} = \frac{810}{9} = 90$.
Ответ: ДА.
б) 88?
Стратегия: формализация и анализ чётности.
Пусть число abc. $\frac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 88$.
100a+10b+c = 88a + 88b + 88c
12a = 78b + 87c → Делим на 3: 4a = 26b + 29c.
Левая часть (4a) чётная. Значит, 29c должно быть чётным → c — чётное.
Перебрав c=2,4,6,8, видим, что a становится не цифрой. Нельзя.
Ответ: НЕТ.
в) Какое наибольшее значение частного?
Стратегия: оценка и перебор вниз от 100.
Очевидно, частное < 100 (если бы b=c=0, было бы 100, но число не может быть кратным 100).
Проверяем K=99, 98… Методом подбора находим, что максимальное K=91 достигается для числа 910.
$\frac{910}{9+1+0} = \frac{910}{10} = 91$.
Ответ: 91.
Задача 3: числа из цифр 1 и 6
Условие: на доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых только цифры 1 и 6.
а) Может ли сумма быть 173?
Стратегия: простой подбор. Берём самое большое такое число — 166. 173 – 166 = 7. 7 = 6 + 1.
Пример: 166 + 6 + 1 = 173. Все числа различны.
Ответ: ДА.
б) Может ли сумма быть 109?
Стратегия: перебор возможных чисел. Доступные числа: 1,6,11,16,61,66,111… Подбором видно, что комбинации, дающие в сумме 109, нет. Можно также анализировать остатки от деления на 10.
Ответ: НЕТ.
в) Какое наименьшее количество чисел при сумме 1021?
Стратегия: чтобы чисел было МАЛО, нужно брать САМЫЕ БОЛЬШИЕ возможные числа.
Жадный алгоритм: 1021 – 666 = 355; 355 – 166 = 189; 189 – 161 = 28; 28 – 16 = 12; 12 – 11 = 1; 1 – 1 = 0.
Получили 6 чисел: 666, 166, 161, 16, 11, 1.
Доказать, что 5 чисел недостаточно, можно через оценку суммы 5 самых больших чисел или анализ последней цифры.
Ответ: 6.
Итоговое саммари
- Цифра (0–9) — кирпичик, число (25, 100) — дом. Не путай.
- Любое число — это сумма: abc = 100a + 10b + c. Это главная формула для задач.
- Внимание к формулировкам: «сумма цифр» и «сумма чисел» — не одно и то же.
- Решай методом «пароля»: неизвестные цифры — это переменные, условия задачи — уравнения.
- Стратегии для №19: подбор примеров, поиск крайних случаев (min/max), анализ чётности/остатков, жадные алгоритмы.
Чек-лист «Что я теперь знаю и умею»
- Могу объяснить разницу между цифрой и числом.
- Могу разложить число по разрядам (даже с неизвестными цифрами).
- Понимаю, как формализовать условие задачи про числа в виде уравнений.
- Знаю главные ловушки и не попадусь в них.
- Умею применять стратегии для задач ЕГЭ №19: подбор, оценка, анализ.
P.S. Отработай эту тему на практике — и 19-я задача ЕГЭ перестанет тебя пугать, потому что ты будешь видеть её настоящую, простую суть.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
