Что нужно знать про задачи с логарифмическими формулами
Категория заданий: Прикладные задачи, требующие работы с физическими зависимостями, выраженными через логарифмы.
Универсальный алгоритм выполнения:
- Тщательный анализ условия — выделение всех заданных параметров и одной искомой величины.
- Непосредственная подстановка всех известных числовых значений в приведённую формулу.
- Изоляция логарифмической части — преобразование уравнения к виду loga(…) = число.
- Переход к эквивалентной показательной записи на основе фундаментального определения логарифма.
- Вычисление ответа с обязательной проверкой соответствия единицам измерения, указанным в требовании.
Задача 1: Модель охлаждения жидкости в радиаторе
Формулировка из задания:
Для поддержания температуры в комнате на отметке +25°C через отопительный прибор циркулирует горячая вода. Массовый расход жидкости составляет 0,3 килограмма в секунду. При движении вдоль трубы на отрезке x теплоноситель остывает с +57°C до некоторого значения T. Связь этих величин задаётся уравнением:
$x = \alpha \cdot \frac{c \cdot m}{\gamma} \cdot \log_2\frac{T_B − T_n}{T − T_n}$.
Константы: $c = 4200 \, \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}$ (удельная теплоёмкость), $\gamma = 63 \, \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{м} \cdot ^\circ\text{C}}$ (интенсивность теплообмена), α = 1,4 (безразмерный коэффициент).
Определите конечную температуру воды после прохождения 56 метров трубы.
Исходные данные:
- x = 56 м
- α = 1,4
- c = 4200
- m = 0,3 кг/с
- γ = 63
- TB = 57°C
- Tn = 25°C
Цель: Найти T.
Пошаговое решение:
- Выполняем подстановку в исходное выражение:
$56 = 1,4 \cdot \left( \frac{4200 \cdot 0,3}{63} \right) \cdot \log_2\frac{57 − 25}{T − 25}$ - Рассчитываем комбинацию постоянных:
4200 × 0,3 = 1260;
1260 ÷ 63 = 20;
1,4 × 20 = 28.
Теперь уравнение упростилось:
$56 = 28 \cdot \log_2\frac{32}{T − 25}$ - Освобождаемся от множителя 28:
56 ÷ 28 = 2.
Таким образом: $2 = \log_2\frac{32}{T − 25}$. - Используем определение: log₂ A = B ⇔ 2B = A.
Получаем: $2^2 = \frac{32}{T − 25} \to 4 = \frac{32}{T − 25}$. - Решаем относительно T:
T – 25 = 32 ÷ 4 = 8;
T = 25 + 8 = 33.
Итоговый результат: 33°C.
Задача 2: Работа при изотермическом сжатии газа
Текст задачи:
В воздушной камере водолазного колокола находится 2 моля газа. Начальное давление составляет 1,75 атмосферы. При плавном погружении на дно происходит сжатие воздуха при постоянной температуре. Работа внешних сил (воды) описывается формулой:
$A = α \cdot ν \cdot T \cdot log₂\frac{p₂}{p₁}$. Здесь $α = \frac{13,3 Дж}{моль \cdot К}$, T = 300 K.
Вычислите конечное давление газа, если работа сжатия равна 15960 Дж.
Известные величины:
- A = 15960 Дж
- $α = \frac{13,3 Дж}{моль \cdot К}$
- ν = 2 моль
- T = 300 K
- p₁ = 1,75 атм.
Что найти: p₂ (в атмосферах).
Ход решения:
- Вносим данные в формулу:
$15960 = 13,3 \cdot 2 \cdot 300 \cdot log₂\frac{p₂}{1,75}$. - Упрощаем числовой множитель:
13,3 × 2 = 26,6;
26,6 × 300 = 7980.
Следовательно: $15960 = 7980 \cdot log₂\frac{p₂}{1,75}$. - Выделяем логарифм:
15960 ÷ 7980 = 2
→ $2 = log₂\frac{p₂}{1,75}$. - Переход к степенному представлению:
$2^2 = \frac{p₂}{1,75}$
→ $4 = \frac{p₂}{1,75}$. - Находим p₂:
p₂ = 4 × 1,75 = 7.
Ответ: 7 атмосфер.
Задача 3: Процесс разряда конденсатора через резистор
Условие:
В схеме телевизора установлен высоковольтный конденсатор ёмкостью 6 микрофарад. К нему параллельно присоединён резистор сопротивлением 8 МОм. В рабочем режиме напряжение на обкладках достигает 34 кВ. После отключения питания напряжение уменьшается до величины U согласно зависимости:
$t = α·R·C·log₂\frac{U₀}{U}$ (в секундах), где α = 0,8 – постоянный множитель.
Каким станет напряжение через 76,8 секунды после выключения?
Дано:
- t = 76,8 с
- α = 0,8
- R = 8·10⁶ Ом
- C = 6·10⁻⁶ Ф
- U₀ = 34 кВ.
Необходимо определить: U в киловольтах.
План вычислений:
- Подстановка значений:
$76,8 = 0,8 \cdot 8 \cdot 10^6 \cdot 6·10^{−6} \cdot log₂\frac{34}{U}$. - Вычисление произведения постоянных:
0,8 × 8 = 6,4;
6,4 × 6 = 38,4;
10⁶ × 10⁻⁶ = 1.
Итого, коэффициент: 38,4.
Уравнение принимает вид:
$76,8 = 38,4 \cdot log₂\frac{34}{U}$. - Изолируем логарифм:
76,8 ÷ 38,4 = 2
→ $2 = log₂\frac{34}{U}$. - Применяем определение логарифма:
$2^2 = \frac{34}{U}$
→ $4 = \frac{34}{U}$. - Выражаем U:
U = 34 ÷ 4 = 8,5.
Конечный ответ: 8,5 кВ.
Полезные советы для эффективной подготовки
- Контроль размерностей: перед расчётами убедись, что все значения приведены в согласованных единицах (например, киловольты не перепутаны с вольтами).
- Внимательность при вычислениях: проверяй решение, большинство ошибок возникают на этапе арифметических операций с коэффициентами.
- Чёткое знание определения: помни, что уравнение $\log_a X = Y$ эквивалентно $X = a^Y$.
- Систематическая тренировка: регулярно решай аналогичные задачи из открытого банка заданий ЕГЭ, чтобы отработать алгоритм до автоматизма.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
