Введение
В девятом задании ЕГЭ по математике профильного уровня встречаются задачи на работу с формулами, содержащими тригонометрические функции. Это задание проверяет умение выполнять вычисления и преобразования с использованием тригонометрических тождеств и табличных значений.
Специфика задания
- даётся готовая формула с одной или несколькими тригонометрическими функциями;
- требуется подставить числовые значения и выполнить вычисления;
- необходимо знать основные тригонометрические тождества и табличные значения;
- важно внимательно работать с единицами измерения.
Типичные трудности
- работа с незнакомыми формулами из физики и геометрии;
- применение тригонометрических тождеств для упрощения выражений;
- определение области значений тригонометрических функций;
- выполнение арифметических вычислений без ошибок.
План решения
- Анализ условия — выдели формулу и все переменные.
- Определение данных — что известно и что нужно найти.
- Подстановка значений — аккуратная замена переменных числами.
- Упрощение выражения — использование алгебраических выражений и тригонометрических тождеств.
- Решение уравнения — нахождение неизвестного параметра.
- Проверка ответа — соответствие требованиям задачи.
Пример 1. Расчёт времени полёта тела.
Условие: Длительность полёта тела, брошенного под углом α к горизонту, задаётся формулой $t = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin \alpha}{g}$. Определите минимальное значение угла α в градусах, при котором время полёта составит не менее 3,2 секунды. Начальная скорость $v_0 = 16 м/с$, ускорение свободного падения g = 10 м/с².
- Исходные данные: $t \ge 3,2, \quad v_0 = 16, \quad g = 10$.
- Подстановка в формулу: $\frac{2 \cdot 16 \cdot \sin \alpha}{10} \ge 3,2$.
- Упрощение: $\frac{32 \cdot \sin \alpha}{10} \ge 3,2 \to 3,2 \cdot \sin \alpha \ge 3,2$.
- Решение неравенства: sinα ≥ 1.
- Анализ: поскольку sinα ≤ 1, единственное решение sinα = 1.
- Нахождение угла: α = arcsin(1) = 90°.
Ответ: 90.
Проверяемые навыки: работа с формулами, содержащими синус, знание табличных значений, решение тригонометрических неравенств.
Пример 2. Определение угла бросания мячика.
Условие: Мячик бросают под острым углом α к земле. Максимальная высота полёта вычисляется по формуле $H = \frac{v_0^2}{4g} \cdot (1 − \cos \alpha)$, где $v_0 = 26 м/с$. Найдите наименьший угол α в градусах, при котором мячик перелетит стену высотой 8,45 м, находящуюся в 1 метре от точки броска. Примите g = 10 м/с².
- Исходные данные: $v_0 = 26 м/с, H = 8,45 м, \quad g = 10 м/с²$.
- Составление уравнения: $\frac{26^2}{4 \cdot 10} \cdot (1 − \cos \alpha) = 8,45$.
- Подстановка значений: $\frac{676}{40} \cdot (1 − \cos \alpha) = 8,45$.
- Вычисления: $16,9 \cdot (1 − \cos \alpha) = 8,45$.
- Решение относительно косинуса: $1 − \cos \alpha = \frac{8,45}{16,9} = 0,5$.
- Нахождение косинуса: cosα = 1 – 0,5 = 0,5.
- Определение угла: α = arccos(0,5) = 60°.
Ответ: 60.
Проверяемые навыки: решение уравнений вида a(1-cosα) = b, знание табличных значений тригонометрических функций, работа с физическими формулами.
Пример 3. Расчёт энергии при столкновении тел.
Условие: Два тела массой 2 кг движутся навстречу друг другу со скоростью 8 м/с под углом 2α. Энергия, выделяющаяся при неупругом столкновении, определяется по формуле $Q = m \cdot v^2 \cdot \sin^2 \alpha$. Вычислите, при каком угле 2α выделится энергия 32 Дж.
- Исходные данные: m = 2 кг, v = 8 м/с, Q = 32 Дж.
- Подстановка в формулу: $32 = 2 \cdot 8^2 \cdot \sin^2 \alpha$.
- Упрощение: $32 = 2 \cdot 64 \cdot \sin^2 \alpha \to 32 = 128 \cdot \sin^2 \alpha$.
- Решение уравнения: $\sin^2 \alpha = \frac{32}{128} = \frac{1}{4}$.
- Извлечение корня: $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ (угол острый).
- Нахождение угла: $\alpha = \arcsin(frac{1}{2}) = 30^\circ$.
- Определение искомого угла: $2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Ответ: 60.
Проверяемые навыки: работа с квадратом синуса, знание табличных значений, решение уравнений с тригонометрическими функциями.
Пример 4. Вычисление кинетической энергии колеблющегося груза.
Условие: Груз массой 0,16 кг совершает колебания на пружине. Скорость изменяется по закону $v = v_0 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right)$, где t — время, T = 2 с — период колебаний, $v_0 = 1,5 м/с$. Кинетическая энергия рассчитывается как $E = \frac{m \cdot v^2}{2}$. Найдите энергию груза через 20 секунд после начала движения.
- Исходные данные: $m = 0,16 кг; \quad T = 2 с; \quad v_0 = 1,5 м/с; \quad t = 20 с$
- Расчёт скорости: $v(20) = 1,5 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{2} \cdot 20\right) = 1,5 \cdot \cos(\pi \cdot 20)$.
- Упрощение аргумента: $\pi \cdot 20 = 20\pi$.
- Учёт периодичности: $\cos(20\pi) = \cos(10 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$.
- Вычисление скорости: $v(20) = 1,5 \cdot 1 = 1,5 м/с$.
- Расчёт энергии: $E = \frac{0,16 \cdot 1,5^2}{2} = \frac{0,16 \cdot 2,25}{2} = \frac{0,36}{2} = 0,18 Дж$.
Ответ: 0,18.
Проверяемые навыки: понимание периодичности тригонометрических функций, работа с формулами гармонических колебаний, вычисление энергии.
Рекомендации для успешной подготовки
- Запомни табличные значения тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
- Освой основные тождества:
- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
- $\sin(2x) = 2 \sin x \cdot \cos x$
- $\cos(2x) = \cos^2 x − \sin^2 x$.
- Тренируйся работать с незнакомыми формулами.
- Внимательно следи за единицами измерения.
- Используй периодичность тригонометрических функций для упрощения вычислений.
Это задание относится к числу тех, где можно уверенно получить балл при правильной подготовке. Удачи на экзамене!
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
