Введение
Использование таблиц для решения задач на движение помогает наглядно организовать данные и составить уравнения.
Алгоритм заполнения таблицы для задач на движение
Шаг 1. Определить структуру таблицы
Для каждой задачи составляем таблицу с колонками:
- Участник/направление — кто и куда движется.
- S (км) — расстояние.
- v (км/ч) — скорость.
- t (ч) — время.
Шаг 2. Выделить всех участников движения
Определить:
- Сколько объектов движется.
- В каком направлении (навстречу, вдогонку, в противоположные стороны).
- Были ли остановки, изменение скорости.
Шаг 3. Заполнить известные данные
Внести в таблицу все числовые данные из условия:
- Расстояния между пунктами.
- Известные скорости.
- Известные времена.
Шаг 4. Ввести переменные
Для неизвестных величин ввести переменные:
- Обычно скорость обозначаем v₁, v₂, vₐ, vᵦ.
- Время — t₁, t₂.
- Расстояния — S, S₁, S₂.
Шаг 5. Установить связи между величинами
Использовать формулу S = v × t и условия задачи:
- Если объекты выехали одновременно: время одинаковое.
- Если с интервалом: время различается на величину интервала.
- При встречном движении: сумма пройденных путей = общему расстоянию.
Шаг 6. Составить уравнения
На основе заполненной таблицы составить уравнения, используя:
- Равенства из условия задачи.
- Формулу S = v × t.
- Особые условия (остановки, изменение скорости).
Пример 1. Движение туда и обратно с остановкой
Условие: Велосипедист выехал из А в В (187 км.). На обратном пути скорость на 6 км/ч. больше, остановка 6 ч. Время туда = время обратно. Найти скорость обратно.
Применяем алгоритм:
- Структура: таблица с двумя строками (туда и обратно).
- Участники: один велосипедист, два направления.
- Известные данные: S = 187 км, остановка 6 ч.
- Вводим переменные: v₁ — скорость туда, v₂ = v₁ + 6 — скорость обратно.
- Связи: время туда = время в движении обратно + 6 часов.
- Составляем уравнение: $\frac{187}{v_1} = \frac{187}{v_2} + 6$.
Таблица:
| Направление | S (км.) | v (км/ч.) | t (ч.) |
|---|---|---|---|
| А → В | 187 | v₁ | $\frac{187}{v_1}$ |
| В → А | 187 | v₂ = v₁ + 6 | $\frac{187}{v_2} + 6$ |
$\frac{187}{v_1} = \frac{187}{v_1 + 6} + 6$
$\frac{187}{v_1} − \frac{187}{v_1 + 6} = 6$
$\frac{187 \cdot 6}{v_1(v_1 + 6)} = 6$
$\frac{187}{v_1(v_1 + 6)} = 1$
$v_₁^² + 6v_₁ − 187 = 0$
$v_₁ = 11 км/ч$
$v_₂ = v_₁ + 6 = 17 км/ч$
Ответ: 17 км/ч.
Пример 2. Встречное движение
Условие: АВ = 790 км. Из А выехал автомобиль, через 3 ч навстречу из В — второй (75 км/ч). Встреча в 490 км. от А. Найти скорость первого.
Алгоритм:
- Структура: таблица с двумя строками (два автомобиля).
- Участники: два автомобиля, движутся навстречу.
- Известные данные: $S_{AB}$= 790 км, v₂ = 75 км/ч, S₁ = 490 км.
- Вводим переменные: v₁ — скорость первого, t — время до встречи первого.
- Связи: второй ехал на 3 часа меньше.
- Составляем уравнения: S₁ = v₁ × t, S₂ = v₂ × (t − 3), S₁ + S₂ = 790.
Таблица:
| Участник | v (км/ч.) | t (ч.) | S (км.) |
|---|---|---|---|
| Первый | v₁ | t | 490 |
| Второй | 75 | t – 3 | 300 |
75 × (t – 3) = 300
t – 3 = 4
t = 7 часов
v₁ × 7 = 490
v₁ = 70 км/ч
Ответ: 70 км/ч.
Пример 3. Движение с опережением
Условие: Из А и В навстречу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 12 ч раньше велосипедиста в А. Встреча через 2,5 ч. Найти время каждого на путь.
Алгоритм заполнения таблицы:
- Структура: две таблицы — одна для движения до встречи, другая для всего пути.
- Участники: мотоциклист (из А в В) и велосипедист (из В в А).
- Известные данные: время до встречи = 2,5 ч., разница во времени всего пути = 12 ч.
- Вводим переменные: vₘ — скорость мотоциклиста, vᵦ — скорость велосипедиста, S — расстояние АВ.
- Связи: до встречи сумма путей = S; после встречи каждый продолжает до конечного пункта.
Таблица 1: Движение до встречи (первые 2,5 часа).
| Участник | v (км/ч.) | t (ч.) | S (км.) |
|---|---|---|---|
| Мотоциклист | vₘ | 2,5 | 2,5vₘ |
| Велосипедист | vᵦ | 2,5 | 2,5vᵦ |
Из таблицы 1: S = 2,5vₘ + 2,5vᵦ = 2,5(vₘ + vᵦ).
Таблица 2: Весь путь от старта до финиша.
| Участник | v (км/ч.) | t (ч.) | S (км.) |
|---|---|---|---|
| Мотоциклист | vₘ | $t_m = \frac{S}{v_m}$ | S |
| Велосипедист | vᵦ | $t_\beta = \frac{S}{v_\beta}$ | S |
Уравнение из условия:
Велосипедист потратил на 12 часов больше:
tᵦ – tₘ = 12
$\frac{S}{v_\beta} − \frac{S}{v_m} = 12$
Подставляем S = 2,5(vₘ + vᵦ):
$\frac{2,5(v_m + v_\beta)}{v_\beta} − \frac{2,5(v_m + v_\beta)}{v_m} = 12$
$2,5(1 + \frac{v_m}{v_\beta}) − 2,5(1 + \frac{v_\beta}{v_m}) = 12$
Пусть $k = \frac{v_m}{v_\beta}$ (отношение скоростей):
$2,5(1 + k) − 2,5(1 + \frac{1}{k}) = 12$
$2,5k − \frac{2,5}{k} = 12$
$k − \frac{1}{k} = 4,8$
$k^2 − 4,8k − 1 = 0$
$D = 23,04 + 4 = 27,04$
$\sqrt{D} = 5,2$
$k = \frac{4,8 + 5,2}{2} = 5$
Таким образом: vₘ = 5vᵦ.
S = 2,5(5vᵦ + vᵦ) = 15vᵦ
$t_\beta = \frac{S}{v_\beta} = \frac{15v_\beta}{v_\beta} = 15$ часов.
$t_m = \frac{S}{v_m} = \frac{15v_\beta}{5v_\beta} = 3$ часа.
Ответ: мотоциклист — 3 ч, велосипедист — 15 ч.
Пример 4. Движение с догоном и возвратом
Условие: АВ = 420 км. Из А в В — авто, через 1 ч — мотоциклист (80 км/ч.). Догнал в С, вернулся в А. Когда вернулся, авто прибыл в В. Найти АС.
Алгоритм заполнения таблицы:
- Структура: два этапа — до встречи в С и после встречи.
- Участники: автомобиль (постоянно А→В), мотоциклист (А→С→А).
- Известные данные: $S_{AB}$ = 420 км., vₘ = 80 км/ч., автомобиль выехал на 1 ч раньше.
- Вводим переменные: vₐ — скорость авто, tₘ — время мотоциклиста до точки С, AC — искомое расстояние.
- Связи: до С оба проехали одинаковое расстояние AC; после С — разные маршруты.
Таблица 1: Движение до точки С.
| Участник | v (км/ч.) | t (ч.) | S (км.) |
|---|---|---|---|
| Авто | vₐ | tₐ | AC = vₐ×tₐ |
| Мотоциклист | 80 | tₘ | AC = 80×tₘ4 |
Из таблицы 1:
AC = vₐ×tₐ = 80×tₘ
Авто выехал на 1 час раньше: tₐ = tₘ + 1
Подставляем: vₐ×(tₘ + 1) = 80×tₘ (Уравнение 1).
Таблица 2: Движение после точки С.
| Участник, маршрут | v (км/ч.) | t (ч.) | S (км.) |
|---|---|---|---|
| Авто, C → B | vₐ | $\frac{420 − AC}{v_a}$ | 420 – АС |
| Мотоциклист, C → А | 80 | $\frac{AC}{80} = t_m$ | AC |
Из условия: когда мотоциклист вернулся в А, авто прибыл в В.
Это значит: время мотоциклиста от C до А = времени авто от C до В.
$t_m = \frac{420 − AC}{v_a}$ (Уравнение 2).
Из Уравнения 2 и того, что $AC = 80 \cdot t_m$:
$t_m = \frac{420 − 80 \cdot t_m}{v_a}$.
Из Уравнения 1: $v_a = \frac{80 \cdot t_m}{t_m + 1}$.
Подставляем vₐ во второе уравнение:
$t_m = \frac{420 − 80 \cdot t_m}{\frac{80 \cdot t_m}{t_m + 1}}$
$t_m = \frac{(420 − 80 \cdot t_m) \cdot (t_m + 1)}{80 \cdot t_m}$
$80 \cdot t_m^2 = (420 − 80 \cdot t_m) \cdot (t_m + 1)$
$80 \cdot t_m^2 = 420 \cdot t_m + 420 − 80 \cdot t_m^2 − 80 \cdot t_m$
$160 \cdot t_m^2 − 340 \cdot t_m − 420 = 0$
$8 \cdot t_m^2 − 17 \cdot t_m – 21 = 0$
$D = 289 + 672 = 961$
$\sqrt{D} = 31$
$t_m = \frac{17 + 31}{16} = 3$ часа (отрицательный корень не подходит).
$AC = 80 \cdot t_m = 80 \cdot 3 = 240$ км.
Ответ: 240 км.
Пример 5. Движение из одного пункта
Условие: АВ = 40 км. Одновременно выехали авто и велосипедист. За час авто проезжает на 65 км больше. Велосипедист прибыл на 2 ч 10 мин позже. Найти скорость велосипедиста.
Алгоритм:
- Структура: таблица с двумя строками (авто и велосипедист).
- Участники: два объекта, один пункт отправления и один назначения.
- Известные данные: S = 40 км, разница во времени 2 ч 10 мин = $\frac{13}{6}$ ч.
- Вводим переменные: vᵦ — скорость велосипедиста, vₐ = vᵦ + 65 — скорость авто
- Связи: расстояние одинаковое, время разное.
- Составляем уравнение: $\frac{40}{v_\beta} − \frac{40}{v_a} = \frac{13}{6}$.
Таблица:
| Участник | v (км/ч.) | t (ч.) | S (км.) |
|---|---|---|---|
| Авто | vₐ = vᵦ + 65 | $\frac{40}{v_a}$ | 40 |
| Велосипедист | vᵦ | $\frac{40}{v_\beta}$ | 40 |
$\frac{40}{v_\beta} − \frac{40}{v_\beta + 65} = \frac{13}{6}$
$\frac{40 \cdot 65}{v_\beta(v_\beta + 65)} = \frac{13}{6}$
$\frac{2600}{v_\beta(v_\beta + 65)} = \frac{13}{6}$
$15600 = 13vᵦ(vᵦ + 65)$
$1200 = vᵦ^2 + 65vᵦ$
$vᵦ^2 + 65vᵦ − 1200 = 0$
$vᵦ = 15 км/ч$
Ответ: 15 км/ч.
Ключевые советы по заполнению таблиц:
- Всегда начинай с условия «расстояние одинаковое» — это частая связь.
- Внимательно переводи единицы — минуты в часы, метры в километры.
- Отмечай особенности движения — остановки, изменение скорости.
- Проверяйте логику — время не может быть отрицательным, скорость положительная.
- Используй индексы последовательно — v₁, v₂ для разных участников.
Практикуйся в составлении таблиц — это сделает решение задач на движение систематическим и безошибочным.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
