В заданиях № 7 и 13 профильного ЕГЭ по математике баллы часто теряются из-за случайно забытого минуса или перепутанных знаков в тригонометрических формулах. Чтобы не зубрить десятки тождеств, достаточно один раз разобраться, как работают функции противоположных углов и по какому принципу выводятся базовые соотношения. В этой статье разберём правила чётности, формулы сложения, типичные ловушки экзамена и алгоритмы решения заданий.
Чётность и нечётность тригонометрических функций
Знание свойств чётности и нечётности функций помогает быстро избавляться от отрицательных углов.
Косинус — чётная функция, поэтому знак минуса в его аргументе просто опускается: $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$.
Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции. Если внутри их аргумента стоит минус, он выносится перед самой функцией:
$\sin(-\alpha)=-\sin \alpha$;
$\tg(-\alpha)=-\tg \alpha$;
$\ctg(-\alpha)=-\ctg \alpha$.
Отрицательные значения в аргументах тригонометрических функций часто встречаются в заданиях ЕГЭ. Главное правило — всегда выносить или убирать минус до начала основных преобразований.
Формулы сложения
Формулы сложения позволяют находить значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов.
Формулы синуса суммы и разности:
$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$;
$\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta$.Формулы для косинуса:
$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$;
$\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$.Тангенс суммы и разности:
$\tg(\alpha+\beta)=\dfrac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \tg \beta}$;$\tg(\alpha-\beta)=\dfrac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}$.
Формулы двойного и половинного угла
Если в формулах сложения принять $\alpha=\beta$, получатся формулы двойного угла. Они применяются практически в каждом уравнении второй части ЕГЭ.
Синус двойного угла:
$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$.У косинуса двойного угла есть три формулы. Выбор формулы зависит от того, к какой именно функции нужно свести уравнение при решении:
$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha$;
$\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1$;
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha$.Из этих выражений получаются формулы половинного угла или понижения степени:
$\sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}$;
$\cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}$.
Сумма и разность синусов и косинусов
Для разложения выражений на множители используются формулы суммы и разности тригонометрических функций.
Сумма и разность синусов:
$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} \cos \dfrac{\alpha-\beta}{2}$;
$\sin \alpha-\sin \beta=2\sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} \cos \dfrac{\alpha+\beta}{2}$.
Сумма и разность косинусов:$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} \cos \dfrac{\alpha-\beta}{2}$;
$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} \sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}$.
Универсальный пошаговый алгоритм решения
Чтобы не путаться в свойствах и тождествах, при решении любого тригонометрического примера используй этот алгоритм:
- Проверь аргументы на наличие минусов. Если есть отрицательные углы, примени правила чётности или нечётности.
- Изучи сами углы. Если один угол больше другого в два раза, примени формулы двойного или половинного угла.
- Сведи все функции к одному или двум аргументам: одинаковые углы позволяют выносить общие множители за скобки.
- Выполни подстановку табличных значений. Обязательно проверь знак итоговой функции по тригонометрической окружности.
Разбор заданий первой и второй части ЕГЭ
Разберём классические задачи на вычисление значения выражения и решение уравнений.
Пример 1
Найдите значение выражения:
$20\sqrt{3}\cos \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) \sin \left(-\dfrac{\pi}{2} \right)$
Решение
Шаг 1. Избавимся от минусов в аргументах по свойствам чётности косинуса и нечётности синуса:
$20\sqrt{3}\cos \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) \sin \left(-\dfrac{\pi}{2} \right) = 20\sqrt{3}\cos \dfrac{\pi}{6} \cdot \left(-\sin \dfrac{\pi}{2} \right) = -20\sqrt{3}\cos \dfrac{\pi}{6} \sin \dfrac{\pi}{2}$
Шаг 2. Подставим табличные значения в выражение и выполним вычисления:
$-20\sqrt{3}\cos \dfrac{\pi}{6} \sin \dfrac{\pi}{2} = -20\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} \cdot 1 = -\dfrac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt 3}{2} = -10 \cdot 3 = -30$
Ответ: $-30$.
Пример 2
Найдите значение выражения:
$\dfrac{22\sin 13^\circ \cos 13^\circ}{\sin 26^\circ}$
Решение
Шаг 1. Угол в знаменателе ровно в два раза больше угла в числителе. Воспользуемся формулой синуса двойного угла ($\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$) в знаменателе:
$\dfrac{22\sin 13^\circ \cos 13^\circ}{\sin 26^\circ} = \dfrac{22\sin 13^\circ \cos 13^\circ}{2\sin 13^\circ \cos 13^\circ}$
Шаг 2. Сократим дробь:
$\dfrac{22\sin 13^\circ \cos 13^\circ}{2\sin 13^\circ \cos 13^\circ} = \dfrac{22}{2} = 11$
Ответ: $11$.
Пример 3
Решите уравнение: $\cos 2x+\sqrt{2}\sin x+1=0$.
Решение
Шаг 1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, содержащей только синус ($\cos 2x=1-2\sin^2 x$):
$\cos 2x + \sqrt{2}\sin x + 1 = 0; \\ 1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x + 1 = 0; \\ -2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x + 2 = 0; \\ 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$
Шаг 2. Введём замену переменной $t=\sin x$:
$2t^2 - \sqrt{2}t - 2 = 0$
Шаг 3. Решим квадратное уравнение:
$D = \left(- \sqrt 2 \right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18; \\ t_1 = \dfrac{-\left(- \sqrt 2 \right) - \sqrt {18}}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt 2 - 3 \sqrt 2}{4} = -\dfrac{2\sqrt 2}{4} = -\dfrac{\sqrt 2}{2}; \\ t_2 = \dfrac{-\left(- \sqrt 2 \right) + \sqrt {18}}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt 2 + 3 \sqrt 2}{4} = \dfrac{4\sqrt 2}{4} = \sqrt 2$
Шаг 4. Сделаем обратную замену:
$\sin x = -\dfrac{\sqrt 2}{2}; \quad \sin x = \sqrt 2$
Шаг 5. Так как синус не может быть больше единицы и $\sqrt 2 > 1$, второе полученное уравнение не имеет решений. Решим первое уравнение:
$\sin x = -\dfrac{\sqrt 2}{2}; \\ x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \text{ и } x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \, x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Ловушки экзамена и типичные ошибки
Чтобы вычисления не привели к потере баллов, обрати внимание на следующие моменты:
- Ловушка 1: минус у косинуса. Часто пишут по аналогии с другими функциями: $\cos(-\alpha)=-\cos \alpha$. Нужно запомнить, что косинус поглощает минус, и результатом будет просто $\cos \alpha$.
- Ловушка 2: потеря знака в разности косинусов. Часто забывают про минус в правой части формулы разности косинусов:
$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} \sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}$. - Ловушка 3: неправильный знак при понижении степени. Извлекая квадратный корень при поиске синуса половинного угла, многие всегда пишут знак плюс. Правильно — нарисовать окружность, найти четверть, в которой находится угол $\dfrac{\alpha}{2}$, и поставить знак в соответствии с этим.
Практика и проверка знаний
Проверь, как хорошо получилось усвоить материал, решив небольшой блок заданий.
Задание 1
Найди значение выражения $\tg(-45^\circ)$.
- Тангенс — нечётная функция, вынесем минус вперёд: $\tg(-45^\circ)=-\tg(45^\circ)$.
- Подставим табличное значение и выполним вычисление: $-\tg(45^\circ)=-1$.
Ответ: $-1$.
Задание 2
Упрости выражение $\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ$.
- Это выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного угла ($\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha$), воспользуемся ей:
$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos (2 \cdot 15^\circ)=\cos 30^\circ$. - Найдём значение выражения:
$\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Задание 3
Представь сумму $\sin 40^\circ+\sin 20^\circ$ в виде произведения и упрости выражение.
- Применим формулу суммы синусов, чтобы представить выражение в виде произведения:
$\sin 40^\circ+\sin 20^\circ=2\sin \dfrac{40^\circ+20^\circ}{2} \cos \dfrac{40^\circ-20^\circ}{2}=2\sin \dfrac{60^\circ}{2} \cos \dfrac{20^\circ}{2}=2\sin 30^\circ \cos 10^\circ$. - Подставим табличное значение в выражение:
$2\sin 30^\circ \cos 10^\circ=2 \cdot \dfrac{1}{2} \cos 10^\circ=\cos 10^\circ$.
Ответ: $\cos 10^\circ$.
Подводим итог
Знание тригонометрических формул — фундамент для успешного выполнения заданий первой и второй части. Теперь ты понимаешь, как избавляться от отрицательных углов, умеешь раскладывать сумму функций на множители и использовать формулы двойного и половинного угла для сокращения выражений. В уравнениях всегда нужно стремиться получить одинаковые функции одного угла.
Чтобы закрепить теорию на практике и уверенно чувствовать себя на вычислительных задачах, рекомендуем прорешать задания в «100балльном банке» — там собраны прототипы разного уровня сложности со всех реальных экзаменов.
