Введение
Почему метод интервалов — самый любимый инструмент проверяющих ЕГЭ? Потому что он красивый, универсальный и… коварный. Больше 30% ошибок в задании №15 (профильная математика) возникают из-за невнимательности в самом конце этого метода. Но мы эту ловушку обойдём.
Теория по кусочкам
Кусочек 1: не неравенство, а уравнение
Представь, что тебе нужно решить (x – 2)(x + 5) > 0. Сначала мы находим точки, где выражение равно нулю. Почему? Потому что только в этих точках оно может поменять знак (с плюса на минус или наоборот).
Решаем уравнение: (x – 2)(x + 5) = 0. Корни: x = 2 и x = –5. Отмечаем их на числовой прямой. Это наши критические точки. Они разбивают прямую на интервалы.
Рубрика: простая аналогия
Метод интервалов — это как проверка погоды в разных городах. Точки –5 и 2 — это границы погодных фронтов. Чтобы узнать, где тепло (+), а где холодно (–), достаточно узнать погоду в любом одном городе внутри каждого региона (интервала). Она будет одинакова для всего региона!
Кусочек 2: определяем «погоду» на интервалах
Берём любое число из самого правого интервала (2; +∞). Например, x = 100.
Подставляем в наше выражение: (100 – 2) > 0, (100 + 5) > 0. Два плюса. Значит, на всём этом интервале выражение положительное. Ставим справа знак +.
Теперь «перешагиваем» через точку x = 2. Ключевое правило: при переходе через корень нечётной кратности (простой корень) знак МЕНЯЕТСЯ. У нас оба корня простые (в первой степени). Значит, на интервале (–5; 2) знак станет –.
Перешагиваем через x = –5. Снова меняем знак. На интервале (–∞; –5) будет +.
Кусочек 3: выбираем ответ (внимание, ловушка!)
Смотрим на исходное неравенство: (x – 2)(x + 5) > 0 (строго больше нуля).
Нас интересуют интервалы со знаком +.
Это: x ∈ (–∞; –5) ∪ (2; +∞).
А теперь главная ловушка: включать ли сами точки –5 и 2 в ответ?
Неравенство СТРОГОЕ (> 0 или < 0):
точки НЕ включаем. Напоминаем себя: в этих точках выражение равно нулю, а нуль не больше и не меньше нуля! Пишем круглые скобки ( ) или рисуем «выколотую» точку на прямой.
Неравенство НЕСТРОГОЕ (≥ 0 или ≤ 0):
точки, в которых числитель обращается в ноль, включаем. Пишем квадратные скобки [ ] или закрашенную точку.
Рубрика: ловушки экзамена
Как писать НЕЛЬЗЯ:
x ∈ (–∞; –5] ∪ [2; +∞) для неравенства > 0. За это снимут балл, так как при x = 2 и x = –5 выражение равно нулю, а не больше нуля.
Как писать ПРАВИЛЬНО:
x ∈ (–∞; –5) ∪ (2; +∞) или x < –5, x > 2.
Кусочек 4: а что с дробями и кратными корнями?
Пусть неравенство: $\frac{(x − 1)^2 (x + 3)}{(x − 4)}$ ≤ 0.
- Находим нули числителя и знаменателя:
Числитель: (x – 1)² (x + 3) = 0 → x = 1 (корень кратности 2 — чётный), x = –3 (кратность 1 — нечётный).
Знаменатель: x – 4 = 0 → x = 4 (корень нечётной кратности, но из знаменателя!). - Наносим на прямую. Важно: точка x = 4 из знаменателя ВСЕГДА будет выколота (даже если неравенство нестрогое ≤), потому что на ноль делить нельзя!
Определяем знак на правом интервале (4; +∞). При x=100 все множители положительны, ставим +.
- Переходим через точки, меняя знак по правилу:
Через x = 4 (нечётная кратность) — знак меняется (с + на –).
Через x = 1 (ЧЁТНАЯ кратность) — знак НЕ меняется! Выражение коснулось оси и вернулось обратно. Остаётся –.
Через x = –3 (нечётная кратность) — знак меняется (с – на +).
- Выбираем ответ для ≤ 0: нас интересуют интервалы со знаком — и точки, где выражение равно нулю (но не знаменатель!).
Интервал с –: (1; 4).
Нули числителя, которые можно включить: x = –3 и x = 1. Точку x = 1 — включаем (корень чётной кратности, в этой точке выражение равно нулю, и это разрешено условием ≤). Точку x = 4 — НЕ включаем никогда (знаменатель!).
Ответ: x ∈ [–3; 4), причём x = 1 входит сюда.
Вопросы для самопроверки
1. Мини-тест после теории
Реши неравенство: (x + 7)(x – 3) ≤ 0.
Выбери правильный ответ:
а) [–7; 3];
б) (–∞; –7] ∪ [3; +∞);
в) [–3; 7].
- Корни: x = –7, x = 3.
- Расставляем на прямой, определяем знаки справа налево: справа +, через 3 меняется на –, через –7 меняется на +.
- Неравенство нестрогое (≤), нас интересует – и нули. Это отрезок между корнями, включая их.
Ответ: а) [–7; 3].
2. Задание для общей проверки
Реши неравенство $\frac{(x^2 − 4x + 4)(x − 5)}{(x+2)}$ > 0. Учти, что x² – 4x + 4 = (x – 2)².
- Приводим к виду: $\frac{(x–2)^2 (x–5)}{(x+2)}$ > 0.
- Нули числителя: x = 2 (чётная кратность 2), x = 5 (нечётная). Ноль знаменателя: x = –2 (нечётная, выколота всегда).
- Наносим точки на прямую: –2 (выкол.), 2, 5.
- Определяем знак на интервале (5; +∞) — подставляем, например, x = 10. $(8)^2 \cdot \frac{5}{12}$ > 0 → +.
- Меняем знак, переходя через точки:
Через x = 5 (нечёт.) → меняется на –.
Через x = 2 (чётн.) → НЕ меняется, остаётся –.
Через x = –2 (нечёт.) → меняется на +.
- Ищем интервалы с + для строгого неравенства > 0: (–2; 2) и (2; 5). Точки не включаем (неравенство строгое, а в x = 2 выражение равно нулю).
Ответ: x ∈ (–∞; –2) ∪ (5; +∞).
Итоговое саммари: выжимка темы
- Суть: метод интервалов решает неравенства, находя интервалы знакопостоянства выражения.
- Алгоритм: перенести всё в одну сторону → разложить на множители → найти корни → нанести на прямую → определить знак на правом интервале → расставить знаки, меняя их при переходе через корни нечётной кратности.
- Ловушка №1: чётная кратность корня — знак не меняется.
- Ловушка №2: корни знаменателя всегда выколоты.
- Ловушка №3: включаем концы интервалов в ответ только для нестрогих неравенств (≤, ≥) и только корни числителя.
Чек-лист «Что я теперь знаю»
- Я могу найти нули числителя и знаменателя.
- Я понимаю, что такое кратность корня.
- Я умею правильно рисовать числовую прямую с выколотыми и закрашенными точками.
- Я помню правило смены знака при переходе через корень.
- Я всегда проверяю строгость неравенства при записи ответа.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
