Введение
В экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике цилиндр регулярно встречается в задачах базового (задание 3 первой части) и высокого уровня сложности (задание 14 второй части). Чтобы успешно решать эти задания, важно чётко понимать геометрическую суть фигуры и применять основные формулы. В этой статье мы собрали всё, что нужно для безошибочного решения.
Геометрическая модель и рабочие формулы
Визуализация фигуры
Прямой круговой цилиндр можно представить как результат поступательного движения отрезка (образующей), один конец которого описывает окружность в одной плоскости, а второй — такую же окружность в параллельной плоскости. На чертежах его часто изображают в виде прямоугольника с двумя сопутствующими эллипсами, обозначающими основания.
Базовые элементы и их связь
- Радиус (r) — расстояние от оси до любой точки окружности основания.
- Высота (h) — перпендикулярное расстояние между плоскостями, в которых лежат основания.
- Образующая (l) — отрезок, соединяющий точки на окружностях верхнего и нижнего оснований. Для прямого цилиндра всегда выполняется равенство: l = h.
- Осевое сечение — прямоугольник, образованный при пересечении цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Стороны этого прямоугольника равны высоте h и диаметру основания 2r.
Три фундаментальные формулы
Запоминание этих соотношений — ключ к решению большинства задач.
- Вычисление боковой площади: $S_{бок} = 2\pi \cdot r \cdot h$.
Мнемонический приём: боковая поверхность — это «этикетка», которую можно развернуть в прямоугольник со сторонами, равными длине окружности (2πr) и высоте (h). - Определение полной площади: $S_{полн} = 2\pi \cdot r \cdot h + 2\pi \cdot r^2 = 2\pi \cdot r \cdot (h + r)$.
Это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований-кругов.
- Расчёт объёма: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$.
Логика та же, что и для призмы: объём равен произведению площади основания (πr²) на высоту (h).
Практические наблюдения
- Если в условии сказано, что осевое сечение является квадратом, это даёт готовое соотношение: h = 2r. Эта связь мгновенно упрощает вычисления.
- В задачах с погружением тела в цилиндрический сосуд удобно работать не с радиусом, а с площадью основания сосуда (S), так как V = S * h.
Разбор типовых задач
Пример 1. Простое применение
Даны высота цилиндра — 12 и радиус его основания — 5. Чему равна площадь боковой поверхности, делённая на число π?
Используем формулу: $S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi$.
Результат деления на π: $\frac{120\pi}{π} = 120$.
Ответ: 120.
Пример 2. Влияние изменения параметров
Как изменится объём цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус основания увеличить в 2 раза?
Исходный объём: $V_1 = \pi \cdot r^2 \cdot h$.
Новые параметры: высота $\frac{h}{3}$, радиус 2r.
Новый объём: $V_2 = \pi (2r)^2 \cdot \frac{h}{3} = \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{3} = \frac{4}{3} \pi r^2 h$.
Сравниваем: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4}{3}$.
Объём увеличится в $\frac{4}{3}$ раза.
Ответ: увеличится в $\frac{4}{3}$ раза.
Пример 3. Использование свойства сечения
Осевое сечение цилиндра — квадрат с диагональю длиной 12√2. Определи объём данной фигуры.
- В квадрате со стороной a диагональ равна a√2. Значит, a√2 = 12√2 → a = 12.
- Сторона квадрата в осевом сечении — это и высота h, и диаметр 2r. Следовательно, h = 12 и 2r = 12 → r = 6.
- Объём: $V = \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = \pi \cdot 36 \cdot 12 = 432\pi$.
Ответ: 432π.
Пример 4. Сравнение объёмов
Имеются два цилиндрических сосуда. Высота первого в 1.5 раза больше высоты второго, но диаметр второго составляет 60% от диаметра первого. Найди, во сколько раз объём первого сосуда отличается от объёма второго.
Пусть у первого сосуда: высота h₁ = 1.5h₂, диаметр d₁, радиус r₁ = $\frac{d_1}{2}$.
У второго: высота h₂, диаметр d₂ = 0.6d₁, радиус r₂ = 0.3d₁.
Запишем объёмы: $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi (\frac{d_1}{2})^2 \cdot 1.5h_2 = \pi (\frac{d_1^2}{4}) \cdot 1.5h_2 = \frac{1.5}{4} \pi d_1^2 h_2$.
$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (0.3d_1)^2 \cdot h_2 = \pi \cdot 0.09 d_1^2 \cdot h_2 = 0.09 \pi d_1^2 h_2$.
Находим отношение: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1.5}{4}}{0.09} = \frac{0.375}{0.09} = \frac{375}{90} = \frac{25}{6}$.
Ответ: объём первого сосуда больше в $\frac{25}{6}$ раза.
Пример 5. Классическая прикладная задача
В цилиндрический резервуар было налито 4500 литров воды. Измерения показали, что её уровень достиг 1.8 метра. Затем в резервуар поместили заготовку, и уровень поднялся на 30 сантиметров. Каков объём этой заготовки?
- Приведём всё к одним единицам: $V_{\text{нач}} = 4500 \text{ л} = 4500 \text{ дм}^3$, $h_{\text{нач}} = 1.8 \text{ м} = 18 \text{ дм}$, $\Delta h = 30 \text{ см} = 3 \text{ дм}$.
- Найдём площадь дна резервуара: $S = \frac{V_{\text{нач}}}{h_{\text{нач}}} = \frac{4500}{18} = 250 (\text{дм}^2)$.
- Объём заготовки равен объёму вытесненной ею воды: $V_{\text{дет}} = S \cdot \Delta h = 250 \cdot 3 = 750 (\text{дм}^3)$ или литров.
Ответ: 750.
Распространённые трудности и как с ними справиться
- Механическое заучивание формул без понимания.
Частая ошибка — путаница между площадью круга (πr²) и длиной окружности (2πr).
Что делать: не просто запоминай формулу боковой поверхности, а представляй её развёртку. Это прямоугольник со сторонами 2πr и h. Объём интерпретируй как произведение площади нижнего круга на расстояние до верхнего.
- Невнимательность к условию.
В задаче могут дать диаметр, а в формуле нужен радиус. Или данные будут в разных единицах измерения — метры, сантиметры, литры.
Что делать: сначала выпиши все данные. Сразу переведи всё в одни и те же единицы. Подчеркни для себя слова «диаметр», «радиус», «осевое сечение».
- Ошибки в задачах с пропорциональным изменением.
Если радиус увеличили в k раз, объём увеличится в k² раз, а не просто в k. Это часто забывают.
Что делать: не спеши подставлять числа. Сначала составь отношение объёмов $\frac{V_2}{V_1}$, аккуратно подставь новые параметры (например, 2r или $\frac{h}{2}$), сократи одинаковые множители — и только потом считай.
- Усложнение задачи на погружение тела.
Иногда начинают искать радиус сосуда через π, хотя проще найти и использовать площадь основания.
Что делать: запомни универсальный алгоритм: $V_{тела} = \frac{V_{нач}}{h_{нач}} \cdot \Delta h$. Это избавляет от лишних вычислений.
Итог
После изучения этого материала можно уверенно решать задачи на цилиндр на экзамене.
Теперь ты умеешь:
- применять формулы для площади поверхности и объёма;
- использовать свойства осевого сечения;
- проводить анализ при изменении линейных размеров фигуры;
- находить объём тела через изменение уровня жидкости в сосуде.
Чтобы закрепить тему, советуем решить 8–10 разнотипных задач из открытого банка ЕГЭ и обратить внимание на формулировки условий.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
