Смешанные уравнения с логарифмами, корнями и тригонометрией встречаются в задании 13 профильного ЕГЭ по математике. Эта тема часто вызывает трудности, потому что нужно учитывать множество ограничений. Разберём универсальные методы работы с каждым типом таких заданий. Также изучим частые ловушки и попрактикуемся на типичных заданиях.
Как решать уравнение с любыми комбинациями
Если перед тобой сложное уравнение с несколькими функциями, сначала упрости его вид. Для этого есть два метода:
- Разложение на множители. Если уравнение можно привести к виду произведения нескольких скобок, равного нулю, задача распадается на несколько более простых. Выражение в каждой скобке приравнивается к нулю, а корни полученных уравнений проверяются на соответствие ограничениям исходного условия.
- Замена переменной. Этот метод применяется, если в записи есть повторяющееся выражение. Обозначь этот элемент новой буквой, найди корни, а затем сделай обратную замену.
Решение показательно-тригонометрических уравнений
Такие уравнения содержат тригонометрические функции в показателе степени. Основной метод решения — приведение обеих частей к одинаковому основанию.
Пример. Решите уравнение $4^{\sin x} = 2^{\sqrt{3}\cos x}$.
Преобразуем левую часть. Представим $4$ как $2^2$ и воспользуемся свойствами степени:
$(2^2)^{\sin x} = 2^{\sqrt{3}\cos x}$;
$2^{2\sin x} = 2^{\sqrt{3}\cos x}$.
Основания степеней равны, можем приравнять показатели:
$2\sin x = \sqrt{3}\cos x$.
Получили однородное уравнение первой степени. Если $\cos x =0$, то и $\sin x=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, $\cos x \neq0$ и можем разделить обе части равенства на $\cos x$:
$2 \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{\cos x}{\cos x}$;
$2\, tg\, x =\sqrt{3}$;
$tg\, x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдём значение $x$ через арктангенс:
$x=arctg \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)+ \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x=arctg \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)+ \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Решение логарифмически-тригонометрических уравнений
В таких уравнениях обязательно нужно поставить ограничения на основание и аргумент логарифма, если они зависят от переменной.
Пример. Решите уравнение $\log_2(\sin x)=-1$.
Поставим ограничение на аргумент логарифма, так как он зависит от переменной:
$\sin x > 0$.
Преобразуем исходное выражение по определению логарифма:
$\sin x = 2^{-1}$;
$\sin x = \dfrac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2}>0$, то все корни $\sin x = \frac{1}{2}$ удовлетворяют ограничению $\sin x > 0$. Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ и запишем ответ:
$x=\dfrac{\pi}{6} +2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;
$x=\dfrac{5\pi}{6} +2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x=\dfrac{\pi}{6} +2\pi k, \, x=\dfrac{5\pi}{6} +2\pi n, \, k, \, n \in \mathbb{Z}$.
Решение показательно-логарифмических уравнений
Основной метод решения уравнений, у которых переменная находится и в показателе степени, и внутри логарифма, — это почленное логарифмирование обеих частей.
Пример. Решите уравнение $x^{\log_3 x} = 9x$.
Поставим ограничение на аргумент логарифма:
$x>0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию три:
$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(9x)$.
Воспользуемся свойствами логарифма и упростим запись:
$\log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 9 + \log_3 x$;
$\log^2_3 x = 2 + \log_3 x$;
$\log^2_3 x-\log_3 x-2=0$.
Возьмём замену $t= \log_3 x$:
$t^2-t-2=0$.
Решим квадратное уравнение:
$D=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9$;
$t_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt9}{2\cdot 1}=-1$;
$t_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt9}{2\cdot 1}=2$.
Сделаем обратную замену:
$\log_3 x=-1$;
$\log_3 x=2$.
Решим полученные уравнения:
$x=\dfrac{1}{3}$;
$x=9$.
Оба значения удовлетворяют ограничениям $x>0$. Значит, они являются корнями.
Ответ: $x=\dfrac{1}{3}$; $x=9$.
Универсальный алгоритм решения
Запомни основной порядок действий для всех видов смешанных уравнений.
- Выписать все ограничения для логарифмов, дробей и корней чётной степени.
- Применить свойства степеней или логарифмов.
- Выбрать подходящий метод: найти повторяющееся выражение для замены или разложить на множители.
- Вычислить корни для промежуточного равенства.
- Вернуться к исходной переменной и найти её значения.
- Выполнить проверку полученных корней с помощью ограничений из первого пункта.
Разбор примера из задания 13 ЕГЭ профиль
Решите уравнение $2\log_3^2 (2\cos x)-5\log_3 (2\cos x) + 2 = 0$.
Запишем ограничение на аргумент логарифма:
$2\cos x>0$;
$\cos x>0$.
Пусть $t=\log_3 (2\cos x)$, получим:
$2t^2-5t + 2 = 0$.Решим это квадратное уравнение:
$D=(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 2=25-16=9$;
$t_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt9}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{2}$;
$t_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt9}{2\cdot 2}=2$.Сделаем обратную замену:
$\log_3 (2\cos x) = \dfrac{1}{2}$;
$\log_3 (2\cos x) = 2$.Преобразуем первое уравнение по определению логарифма:
$\log_3 (2\cos x) = \dfrac{1}{2}$;
$2\cos x=3^{\frac{1}{2}}$;
$\cos x=\dfrac{\sqrt 3}{2}$.Аналогично преобразуем второе равенство:
$\log_3 (2\cos x) = 2$;
$2\cos x=3^2$;
$\cos x=\dfrac{9}{2}$ — нет корней, так как значение косинуса не может превышать единицу.Остаётся $\cos x=\frac{\sqrt 3}{2}$. Так как $\frac{\sqrt 3}{2}>0$, корень удовлетворяет ограничению. Найдём его:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Типичные ошибки на экзамене
Разберём самые частые ошибки, которые допускают ученики:
- Ловушка множителей.
Как нельзя: в записи вида $\log_2(\sin x) \cdot \cos x = 0$ приравнять оба множителя к нулю и записать все полученные корни в ответ.
Как нужно: для $\cos x =0$ оставить только корни, которые удовлетворяют ограничению на аргумент логарифма $\sin x >0$. - Обратная замена.
Как нельзя: находить значения $t$ и не брать обратную замену.
Как нужно: после нахождения $t$ взять обратную замену и вычислить $x$. - Поиск ограничений.
Как нельзя: решать уравнение, не поставив ограничения и не проверив корни.
Как нужно: перед началом решения поставить ограничения, а после нахождения корней проверить, соответствуют ли они записанным условиям.
Задания для закрепления
Задание 1
Каким методом следует найти корни $5^{2\sin x} = 25^{\cos x}$?
Здесь нужно привести обе части к общему основанию. Число $25$ можно представить в виде $5^2$:
$5^{2\sin x} = (5^2)^{\cos x}$;
$5^{2\sin x} = 5^{2\cos x}$.
Далее нужно приравнять показатели степеней и решить однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Ответ: методом приведения к общему основанию.
Задание 2
Решите уравнение $x^{\log_2 x} = 4x$.
Поставим ограничение на аргумент логарифма:
$x>0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию два:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(4x)$.
Воспользуемся свойствами логарифма и преобразуем выражение:
$\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_2 4 + \log_2 x$;
$\log^2_2 x = 2 + \log_2 x$;
$\log^2_2 x-\log_2 x-2=0$.
Возьмём замену $t= \log_2 x$:
$t^2-t-2=0$.
Решим квадратное уравнение:
$D=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9$;
$t_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt9}{2\cdot 1}=-1$;
$t_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt9}{2\cdot 1}=2$.
Сделаем обратную замену:
$\log_2 x=-1$;
$\log_2 x=2$.
Решим полученные уравнения:
$x=\dfrac{1}{2}$;
$x=4$.
Оба значения удовлетворяют ограничениям $x>0$. Значит, они являются корнями уравнения.
Ответ: $x=\dfrac{1}{2}$; $x=4$.
Задание 3
Решите уравнение $\log^2_5(\cos x) + \log_5 \left(\dfrac{25}{\cos x} \right) = 2$.
Поставим ограничение на аргумент логарифма и на знаменатель дроби:
$\left\{ \begin{array}{cl} \cos x > 0; \\ \cos x \neq 0; \end{array} \right.$
$\cos x > 0$.
Преобразуем второе слагаемое в левой части равенства по свойству логарифмов:
$\log^2_5(\cos x) + \log_5 25-\log_5 (\cos x) = 2$;
$\log^2_5(\cos x) + 2-\log_5 (\cos x) = 2$;
$\log^2_5(\cos x)-\log_5 (\cos x) = 0$.
Возьмём замену $t=\log_5 (\cos x)$:
$t^2-t = 0$.
Найдём значения $t$:
$t(t-1) = 0$;
$t=1$;
$t=0$.
Сделаем обратную замену:
$\log_5 (\cos x)=1$;
$\log_5 (\cos x)=0$.
Решим первое уравнение:
$\log_5 (\cos x)=1$;
$\cos x=5$ — не имеет корней, так как значение косинуса не может превышать единицу.
Решим второе уравнение:
$\log_5 (\cos x)=0$;
$\cos x=5^0$;
$\cos x=1$.
Так как $1>0$, корни $\cos x=1$ удовлетворяют ограничению $\cos x>0$. Решим уравнение и запишем их в ответ:
$x=2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x=2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.
Заключение
Теперь ты умеешь:
- решать уравнения с разными комбинациями функций;
- применять методы замены переменной и разложения на множители;
- применять универсальный алгоритм решения уравнений с любыми комбинациями функций;
- избегать основных ловушек при решении подобных заданий на ЕГЭ.
Регулярная практика поможет тебе уверенно решать такие задачи на экзамене!
