Область определения и множество значений тригонометрических функций нужны в заданиях ЕГЭ по профильной математике, особенно при работе с графиками, уравнениями, производными и экстремумами. Ошибки часто возникают из-за механического запоминания формул: в нестандартном примере становится непонятно, какие значения можно подставлять и какие результаты вообще возможны. Разберём свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса так, чтобы ими можно было пользоваться в задачах.
Основные свойства тригонометрических функций
Чтобы решать задания первой и второй части ЕГЭ, нужно уверенно пользоваться базовыми свойствами тригонометрических функций. Начнём с области определения и множества значений.
Область определения
Область определения показывает множество всех допустимых значений аргумента $x$.
- Для синуса и косинуса ограничений нет. Можно подставить любой угол, и функция будет существовать:
$D(\sin x) = \mathbb{R}, \, D(\cos x) = \mathbb{R}$
- Тангенс — это отношение синуса к косинусу: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Там, где косинус равен нулю, тангенс не существует, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому область определения $y = \tg x$ — все действительные числа, кроме точек вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Котангенс — это отношение косинуса к синусу: $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Поэтому котангенс не определён там, где синус равен нулю: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Множество значений
Множество значений показывает, какие значения может принимать функция, то есть переменная $y$.
- Синус и косинус ограничены отрезком $[−1; 1]$:
$E(\sin x) = [−1; 1], \, E(\cos x) = [−1; 1]$
- Тангенс и котангенс не ограничены по вертикали. Их графики уходят вверх и вниз бесконечно, поэтому их множества значений — все действительные числа:
$E(\tg x) = \mathbb{R}, \, E(\ctg x) = \mathbb{R}$
Чётность и нечётность
Свойства чётности и нечётности помогают упрощать выражения с отрицательными углами.
- Косинус — чётная функция:
$\cos(−x) = \cos x$
- Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции:
$\sin(−x) = −\sin x; \, \tg (−x) = −\tg x; \, \ctg(-x) = -\ctg x$
Периодичность
Тригонометрические функции периодичны. Наименьшее положительное число, через которое их значения начинают повторяться, называют основным периодом.
- Для синуса и косинуса основной период равен:
$T = 2\pi$
- Для тангенса и котангенса основной период равен:
$T = \pi$
Как находить множество значений выражения
Для выражений вида $y = a\sin(kx) + b$ или $y = a\cos(kx) + b$ удобно действовать по алгоритму.
- Выдели базовую тригонометрическую часть: $\sin x$, $\cos x$, $\sin(kx)$ или $\cos(kx)$.
- Запиши стандартные границы: $−1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ или $−1 \leqslant \cos x \leqslant 1$.
- Умножь все части неравенства на коэффициент $a$. Если коэффициент отрицательный, знаки неравенства меняются.
- Прибавь или вычти свободное число $b$ во всех частях двойного неравенства.
Разбор заданий
Пример № 1
Найди множество значений функции $y = 3\sin 2x + 5$.
Решение
Шаг 1. Начнём оценку значений с $\sin 2x$:
$−1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1$
Шаг 2. Умножаем каждую часть неравенства на $3$:
$−3 \leqslant 3\sin 2x \leqslant 3$
Шаг 3. Прибавляем $5$ ко всем частям:
$−3 + 5 \leqslant 3\sin 2x + 5 \leqslant 3 + 5$
Шаг 4. Получаем:
$2 \leqslant y \leqslant 8$
Ответ: $E(y) = [2; 8]$.
Пример № 2 (задание 12 ЕГЭ)
Найдите наименьшее значение функции $y = 6\cos x + 24x + 1$ на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.
Решение
Шаг 1. Найдём производную:
$y' = −6\sin x + 24$
Шаг 2. Чтобы найти возможные точки экстремума, приравняем производную к нулю:
$−6\sin x + 24 = 0; \, 6\sin x = 24; \, \sin x = 4$
Шаг 3. Синус не может быть больше $1$, а $4 > 1$. Значит, уравнение не имеет корней. Точек экстремума на отрезке нет.
Шаг 4. Определим знак производной:
$−1 \leqslant \sin x \leqslant 1; \, −6 \leqslant −6 \sin x \leqslant 6; \, 18 \leqslant −6 \sin x + 24 \leqslant 30$
Шаг 5. Если производная положительна на всём отрезке, функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, при $x = 0$.
Шаг 6. Подставим $x = 0$ в исходную функцию:
$y(0) = 6\cos 0 + 24 \cdot 0 + 1 = 6 \cdot 1 + 0 + 1 = 7$
Ответ: $7$.
Типичные ошибки на экзамене
- Записывать в бланк ответ с $\pi$ или корнем. В заданиях первой части ЕГЭ ответ обычно должен быть конечной десятичной дробью или целым числом. Если при решении получается ответ с $\pi$, проверь решение на ошибку.
- Ошибаться со знаком косинуса отрицательного угла. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(−60^\circ) = \cos 60^\circ$. Минус в аргументе не делает значение косинуса отрицательным.
- Ограничивать тангенс как синус или косинус. Синус и косинус принимают значения только от $−1$ до $1$, но тангенс этим отрезком не ограничен. Например, у функции $y = \tg x + 5$ нет наибольшего и наименьшего значения, так как она может быть равна любому значению.
Самопроверка
Реши задания, а затем проверь рассуждение.
Задание № 1
Является ли функция $y = \sin 3x$ чётной или нечётной?
- Подставим $−x$ вместо $x$: $\sin(3 \cdot (−x)) = \sin(−3x)$.
- Так как синус — нечётная функция: $\sin(−3x) = −\sin(3x)$.
- Получили, что $y(−x) = −y(x)$, значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
Задание № 2
Найди множество значений функции $f(x) = −4\cos x + 1$.
Косинус принимает значения от $−1$ до $1$:
$−1 \leqslant \cos x \leqslant 1$.
Умножаем все части на $−4$ и меняем знаки неравенства:
$4 \geqslant −4\cos x \geqslant −4; \, −4 \leqslant −4\cos x \leqslant 4$.
Прибавим $1$:
$−3 \leqslant −4\cos x + 1 \leqslant 5$.
Ответ: $[−3; 5]$.
Подводим итог
Теперь ты знаешь, как определять область определения и множество значений для тригонометрических функций. Ты умеешь использовать свойства чётности и периодичности, чтобы упрощать выражения, и знаешь алгоритм поиска множества значений для сложных функций. Эти навыки помогут тебе не терять баллы в заданиях с графиками и при поиске экстремумов в ЕГЭ по профильной математике. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить несколько аналогичных прототипов из нашего банка заданий.
