Введение
Тригонометрическая окружность — это база, без которой невозможно решить ключевые задания ЕГЭ по математике. Она встречается в № 7 (вычисление значений выражений с синусами, косинусами, тангенсами), в № 6 и 13 (простейшие и сложные тригонометрические уравнения) и даже в физических задачах.
В этой статье разберём, как работать с окружностью, переводить градусы в радианы, находить значения тригонометрических функций для «нестандартных» углов и избегать типичных ошибок.
Что такое тригонометрическая окружность
Тригонометрическая окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Углы на ней отсчитываются от положительного направления оси Ox:
- против часовой стрелки — положительные углы;
- по часовой стрелке — отрицательные углы.
Полный оборот = 360° = 2π радиан.
На окружности отмечены ключевые точки:
Перевод градусов в радианы и обратно
Формулы:
- $\alpha \text{ (рад)} = \alpha \text{ (град)} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
- $\alpha \text{ (град)} = \alpha \text{ (рад)} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
Примеры переводов
Пример 1 (градусы → радианы)
Перевести 60° в радианы.
Решение: $60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.
Пример 2 (градусы → радианы)
Перевести 150° в радианы.
Решение: $150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.
Пример 3 (радианы → градусы)
Перевести $\frac{5\pi}{4}$ радиан в градусы.
Решение: $(\frac{5\pi}{4}) \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ$.
Ответ: 225°.
Пример 4 (радианы → градусы)
Перевести $\frac{7\pi}{6}$ радиан в градусы.
Решение: $(\frac{7\pi}{6}) \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$.
Ответ: 210°.
Пример 5 (отрицательные углы)
Перевести −120° в радианы.
Решение: $−120^\circ = −120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{−120\pi}{180} = \frac{−2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{−2\pi}{3}$.
Таблица самых частых углов
| Градусы | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Радианы | 0 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Совет для быстрого перевода в уме
- Градусы → радианы: умножь градусы на $\pi$ и раздели на 180, сократи дробь.
- Радианы → градусы: замени $\pi$ на 180° и посчитай.
- Запомни: $180^\circ = \pi$ — это главный ключ. Тогда $90^\circ = \frac{\pi}{2}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $30^\circ = \frac{\pi}{6}$.
Знаки тригонометрических функций по четвертям
- I четверть (0 − 90°): все функции $> 0$ ($\sin, \cos, \text{tg}, \text{ctg}$).
- II четверть (90 − 180°): только $\sin > 0$.
- III четверть (180 − 270°): только $\text{tg}$ и $\text{ctg} > 0$.
- IV четверть (270 − 360°): только $\cos > 0$.
Как найти значение sin, cos для любого угла через окружность
- Привести угол к диапазону 0–360° (вычесть/прибавить 360° или 2π).
- Определить четверть → знак.
- Найти острый угол (до ближайшей оси) и взять табличное значение.
- Поставить знак.
Пример: $\sin 150°$.
150° — II четверть, синус > 0.
До 180° не хватает 30°, значит, $\sin 150° = \sin 30° = 0,5$.
Особые случаи: отрицательные углы
$\cos(−x) = \cos x$ (чётная функция)
$\sin(−x) = −\sin x$ (нечётная функция)
$\operatorname{tg}(−x) = −\operatorname{tg} x$
Разбор заданий из ЕГЭ (№ 7)
В задании № 7 ЕГЭ проверяют умение вычислять значения тригонометрических выражений без калькулятора.
Задача 1
$12 \cdot \sin 150^\circ \cdot \cos 120^\circ$
$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ − 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ − 60^\circ) = −\cos 60^\circ = −\frac{1}{2}$.
Произведение: $12 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (−\frac{1}{2}) = 12 \cdot (−\frac{1}{4}) = −3$.
Ответ: −3.
Задача 2
$12\sqrt{2} \cdot \cos(−225^\circ)$
Косинус чётный: $\cos(−225^\circ) = \cos 225^\circ$.
$225^\circ = 180^\circ + 45^\circ \rightarrow$ III четверть, косинус отрицательный.
$\cos 225^\circ = −\cos 45^\circ = −\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Итого: $12\sqrt{2} \cdot (−\frac{\sqrt{2}}{2}) = −12 \cdot (\frac{2}{2}) = −12$.
Ответ: −12.
Задача 3
$4\sqrt{3} \cdot \sin(−120^\circ)$
Синус нечётный: $\sin(−120^\circ) = −\sin 120^\circ$.
$120^\circ = 180^\circ − 60^\circ \rightarrow$ II четверть, синус > 0, $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значит, $\sin(−120^\circ) = −\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Выражение: $4\sqrt{3} \cdot (−\frac{\sqrt{3}}{2}) = −4 \cdot (\frac{3}{2}) = −6$.
Ответ: −6.
Задача 4 (радианы)
$26\sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) \cdot \cos(\frac{4\pi}{3})$
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{4\pi}{3} = 240^\circ$ (III четверть, косинус < 0).
$\cos(\frac{4\pi}{3}) = −\cos(\frac{\pi}{3}) = −\frac{1}{2}$.
Произведение: $26\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (−\frac{1}{2}) = 26\sqrt{2} \cdot (−\frac{\sqrt{2}}{4}) = −26 \cdot (\frac{2}{4}) = −13$.
Ответ: −13.
Задача 5
$18\sqrt{2} \cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) \cdot \sin(\frac{\pi}{4})$
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Итого: $18\sqrt{2} \cdot 1 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 18 \cdot (\frac{2}{2}) = 18$.
Ответ: 18.
Решение уравнения с отбором корней (ЕГЭ № 6 — база для окружности)
Задача 6
Решите уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В ответе укажите сумму корней в интервале от 0 до $2\pi$, делённую на $\pi$.
На окружности $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$ (вторая четверть).
Сумма: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$.
Делим на $\pi \rightarrow 1$.
Ответ: 1.
Типичные ошибки
| Ошибка | Как избежать |
|---|---|
| Путаю знак синуса/косинуса во II и III четвертях | Рисуй окружность и подписывай знаки |
| Забываю, что $\cos(−x) = \cos x$ | Запомни: косинус — чётный |
| Неправильно перевожу градусы в радианы | Учи таблицу: $180° = \pi$ рад |
| Ошибаюсь в $\sin 120°$ (думаю, что = $−\sqrt{\frac{3}{2}}$) | Вспомни: $\sin > 0$ во II четверти |
Совет для запоминания:
- Синус — ось Y (вертикаль) → знак как у игрек.
- Косинус — ось X (горизонталь) → знак как у икс.
- Тангенс = $\frac{y}{x}$ → знак «+» в I и III четвертях.
Заключение
Теперь ты умеешь:
- переводить градусы в радианы и обратно;
- определять знак синуса, косинуса, тангенса по четвертям;
- вычислять значения выражений с углами 120°, 135°, 150°, 225°, −120°, −225°;
- решать простейшее тригонометрическое уравнение и находить сумму корней на интервале,
- уверенно решать задания № 7, 6 из ЕГЭ.
Потренируйся на задачах:
- $10\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ \cdot \sin 150^\circ$.
−5
- $\frac{24 \cdot \sin 300^\circ}{\cos 120^\circ}$.
$24\sqrt{3}$
И помни: тригонометрическая окружность — твой лучший друг на экзамене. Нарисуй её мысленно — и правильный ответ найдётся.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
