Введение
В материале разбирается геометрия сферы и шара — тема, которая регулярно встречается в задании №3 ЕГЭ по математике профильного уровня, а также в школьной программе. Здесь собрана необходимая теория, формулы и типовые задачи, чтобы научиться уверенно работать с объёмами, площадями поверхностей и комбинациями этих фигур с другими телами.
Основная текстовая часть
1. Чем отличаются шар и сфера
Часто школьники путают эти понятия, хотя разница принципиальная:
- Сфера — это только внешняя граница. У неё нет внутреннего содержимого, только поверхность. Пример: тонкостенный стеклянный ёлочный шар (пустой внутри).
- Шар — это полноценное тело. У него есть и оболочка, и внутренность. Пример: арбуз, бильярдный шар, планета Земля.
Ключевые параметры:
- Центр (О) — точка, относительно которой всё симметрично.
- Радиус (R) — расстояние от центра до любой точки сферы.
- Диаметр (D) — в два раза больше радиуса: D = 2R.
2. Теоретические сведения, которые пригодятся на экзамене
Как задать сферу формулой
Если поместить сферу в систему координат с центром в точке (x₀; y₀; z₀), то её уравнение выглядит так:
(x – x₀)² + (y – y₀)² + (z – z₀)² = R²
Когда центр совпадает с началом координат, запись упрощается до x² + y² + z² = R².
Взаимодействие с плоскостью
От того, как расположена плоскость относительно сферы, зависит результат их пересечения:
- Плоскость дотрагивается до сферы (касание) — расстояние от центра сферы до плоскости точно равно R.
- Плоскость рассекает сферу — расстояние меньше R, в сечении получается круг.
- Плоскость проходит мимо — расстояние больше R, общих точек нет.
Если плоскость прошла не через центр, радиус получившегося круга (r) можно вычислить так:
$r = \sqrt{R^2 − d^2}$, где d — расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Когда шар встречается с другими фигурами
В задачах ЕГЭ популярны комбинации шара с цилиндром, конусом или кубом. Вот самые частые случаи:
- Шар внутри цилиндра (вписан):
- Шар касается оснований и боковой стенки.
- Высота цилиндра совпадает с диаметром шара: H = 2R.
- Радиус основания цилиндра равен радиусу шара.
- Цилиндр внутри шара (описан):
- Шар окружает цилиндр так, что основания цилиндра касаются сферы изнутри.
- Связь радиусов: $R^2 = \frac{H}{2}^2 + r^2$.
- Шар и куб:
- Если шар вписан в куб (касается всех шести граней), его радиус равен половине ребра: $R = \frac{a}{2}$.
- Если шар описан около куба (вершины куба лежат на сфере), его радиус равен половине диагонали куба: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Главные расчётные формулы
Для решения задачи №3 достаточно запомнить две базовые формулы:
- Объём шара:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$
Здесь важно не забыть дробь $\frac{4}{3}$ — частую причину ошибок. - Площадь сферы:
$S = 4 \pi R^2$.
4. Как легче запомнить и не путаться
- Ассоциация с измерениями: объём измеряется в кубических единицах → в формуле фигурирует R³. Площадь — в квадратных → присутствует R².
- Образ с воздушным шариком: надувая шарик, мы увеличиваем его поверхность (4πR²). Когда завязываем и наполняем гелием — речь идёт об объёме ($\frac{4}{3}\pi R^3$).
- Дробь $\frac{4}{3}$ в объёме легко запомнить, если представить, что шар занимает примерно $\frac{2}{3}$ объёма описанного вокруг него цилиндра (это соотношение полезно и для решения задач).
- Для сечения: мысленно строй треугольник, где радиус шара — гипотенуза, расстояние до плоскости и радиус сечения — катеты.
Задачи и примеры заданий
Задача 1. Вычисление площади по известному радиусу
Условие:
Дан радиус сферы — 5 см. Требуется найти площадь её поверхности. Число π округлить до сотых.
Подставляем в формулу S = 4πR²:
S = 4 · 3,14 · 25 = 4 · 78,5 = 314 см².
Ответ: 314.
Задача 2. Объём через диаметр
Условие:
Шар имеет диаметр 6 см. Найти его объём, приняв π = 3.
Сначала определяем радиус: $R = \frac{D}{2} = 3$ см.
Затем подставляем в формулу объёма:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 27$.
Сокращаем тройки и умножаем: 4 · 27 = 108 см³.
Ответ: 108.
Задача 3. Сравнение объёмов двух шаров
Условие:
Радиусы двух шаров относятся как 6 : 2. Найти, во сколько раз объём первого больше объёма второго.
Отношение объёмов равно отношению кубов радиусов, так как постоянные множители сокращаются:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}^3 = \frac{6}{2}^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.
Задача 4. Масштабирование площади
Условие:
Радиус сферы увеличили втрое. Как изменится площадь её поверхности?
Площадь пропорциональна квадрату радиуса. Значит, при увеличении радиуса в 3 раза площадь вырастет в 3² = 9 раз.
Ответ: 9.
Задача 5. Поиск радиуса сечения
Условие:
Шар радиусом 10 см пересекли плоскостью, проходящей на расстоянии 6 см от центра. Найти радиус сечения.
Используем формулу $r = \sqrt{R^2 − d^2}$:
$r = \sqrt{100 − 36} = \sqrt{64} = 8 см$.
Ответ: 8.
Задача 6. Шар и описанный цилиндр
Условие:
Вокруг шара описали цилиндр. Объём цилиндра равен 33. Чему равен объём шара?
Когда цилиндр описан вокруг шара, его высота равна 2R, а радиус основания — R.
Объём цилиндра: Vц = πR² · 2R = 2πR³.
Объём шара: $V_ш = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Замечаем, что Vш составляет $\frac{2}{3}$ от Vц , так как $\frac{4}{3} : 2 = \frac{2}{3}$.
Вычисляем: $V_ш = \frac{2}{3} \cdot 33 = 22$.
Ответ: 22.
Задача 7. Шар, описанный около куба
Условие:
Куб с ребром 6 окружён сферой так, что все его вершины лежат на сфере. Найти радиус этой сферы.
В такой конфигурации радиус сферы равен половине диагонали куба.
Диагональ куба: $d = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Радиус: $R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.
Типичные ошибки и способы их избежать
- Подмена понятий объёма и площади.
Совет: проверяй, что требуется найти: если речь о вместимости, заполнении — это объём (R³). Если о покраске, обтяжке тканью — площадь (R²).
- Игнорирование коэффициента $\frac{4}{3}$ в формуле объёма.
Совет: выписывай формулу перед каждым расчётом, не полагайся на память.
- Забывают перевести диаметр в радиус.
Совет: первым делом, увидев диаметр, дели его на два и только потом работай с формулами.
- Ошибки в теореме Пифагора при работе с сечением.
Совет: всегда представляй поперечный разрез шара: радиус шара — это гипотенуза, расстояние до плоскости и искомый радиус сечения — катеты.
- Путаница между вписанным и описанным шаром для куба.
Совет: «вписан» — значит внутри куба, касается граней (маленький радиус, $\frac{a}{2}$). «Описан» — куб внутри шара, вершины на сфере (большой радиус, половина диагонали).
Заключение
Теперь ты умеешь:
- Разграничивать понятия шара и сферы;
- Применять ключевые формулы $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ и $S = 4 \pi R^2$;
- Находить, как меняются объём и площадь при изменении радиуса;
- Вычислять радиус сечения по расстоянию до центра;
- Решать задачи с комбинациями шара, цилиндра и куба.
С этими навыками задание №3 на ЕГЭ по стереометрии и элементы школьной программы не вызовут затруднений. Главное — внимательно вчитаться в условие и верно определить, с чем именно предстоит работать: с полым шаром (сферой) или с полным телом, а также корректно интерпретировать тип комбинации фигур.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
