Задание 14 в ОГЭ по математике часто выглядит как длинная текстовая задача про грузовики, ряды в амфитеатре или радиоактивный распад. Из-за объёмного условия этот номер нередко пропускают, хотя внутри скрывается стандартная математическая закономерность. Разберём, как переводить текст задачи в формулы и безошибочно находить ответ. После прочтения статьи ты сможешь уверенно выполнять задания на прогрессии.
Как перевести текст в математические формулы
В школьной математике рассматривают два основных вида числовых последовательностей. Каждая из них имеет свои чёткие признаки в тексте задания.
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему числу, сложенному с одним и тем же значением.
Это добавочное значение называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой $d$. В текстовых задачах она прячется за фразой «каждый раз на определённое число больше» или «каждый раз на определённое число меньше».
Для работы с арифметической прогрессией нужны две формулы. Первая помогает найти элемент на конкретном шаге:
$a_n = a_1 + d(n-1)$
Здесь $a_n$ обозначает искомое число на шаге под номером $n$, а $a_1$ — самое первое число в цепочке.
Вторая формула пригодится для подсчёта общего количества предметов или расстояния за весь период:
$S_n = \dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Также часто на ОГЭ применяется формула:
$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Буква $S_n$ означает общую сумму первых членов последовательности.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему числу, умноженному на одно и то же значение.
Постоянный множитель называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. В тексте экзаменационного варианта процесс описывается словами «увеличивается в несколько раз» или «уменьшается в несколько раз» за равные отрезки времени.
Для вычисления конкретного элемента применяется формула:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
Универсальный алгоритм решения задачи
Чтобы не запутаться в числах, удобно использовать чёткий шаблон действий. Он поможет решить любую подобную задачу на ОГЭ.
- Внимательно прочитай текст. Если величина меняется с использованием предлога «на» — применяется арифметическая прогрессия. Если используется предлог «в» — геометрическая.
- Запиши дано. Переведи слова в параметры $a_1$, $d$ (или $q$) и $n$.
- Определи цель задания. Выясни, нужно найти значение на конкретном шаге или сумму всех значений за весь период.
- Выбери подходящую формулу, подставь известные числа и вычисли итоговый ответ.
Подробный разбор заданий из открытого банка ОГЭ
Применим алгоритм к реальным номерам из базы государственного экзамена.
Задача про грузовик со щебнем
Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день грузовик перевёз 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.
Решение
Шаг 1. Фраза «увеличивая на одно и то же число» означает, что применяется арифметическая прогрессия. Грузовик перевёз весь щебень за 8 дней. Значит, общая сумма $S_8 = 60$. Первый день задаёт начало отсчёта, следовательно, $a_1 = 4$. Общее количество дней $n = 8$.
Шаг 2. В вопросе просят узнать объём работы строго за пятый день. Предстоит найти элемент $a_5$.
Шаг 3. Сначала нужно вычислить неизвестную разность прогрессии $d$. Для этого используем формулу суммы и подставляем значения:
$60 = \dfrac{2 \cdot 4 + d(8-1)}{2} \cdot 8$
Шаг 4. Раскрываем выражение и сокращаем дробь (делим 8 на 2):
$60 = (8 + 7d) \cdot 4$
Шаг 5. Делим обе части уравнения на 4:
$15 = 8 + 7d$
Шаг 6. Переносим известное число:
$7d = 7, \, d = 1$
Шаг 7. Каждый день грузовик добавлял по одной тонне. Теперь находим массу щебня за пятый день по формуле номера элемента:
$a_5 = 4 + 1 \cdot (5-1), \, a_5 = 4 + 4 = 8$
Ответ: 8.
Задача про амфитеатр
В амфитеатре расположены 14 рядов. В первом ряду установлены 20 мест, а в каждом следующем ряду находится на 3 места больше, чем в предыдущем ряду. Сколько всего мест расположено в амфитеатре?
Решение
Шаг 1. Предлог «на» указывает на арифметическую прогрессию. Извлекаем данные: начальное количество $a_1 = 20$. Увеличение мест даёт разность $d = 3$. Количество рядов $n = 14$.
Шаг 2. Слово «всего» означает, что нужно сложить места во всех рядах. Потребуется формула суммы прогрессии. Подставляем числа в уравнение:
$S_{14} = \dfrac{2 \cdot 20 + 3(14-1)}{2} \cdot 14$
Шаг 3. Упрощаем выражение внутри скобок:
$S_{14} = \dfrac{40 + 3 \cdot 13}{2} \cdot 14, \, S_{14} = \dfrac{40 + 39}{2} \cdot 14$
Шаг 4. Умножаем получившуюся дробь. Число 14 удобно поделить на 2 заранее:
$S_{14} = 79 \cdot 7 = 553$
Ответ: 553.
Задача про радиоактивный распад
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 4 минуты. В начальный момент времени масса изотопа составляла 148 миллиграммов. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 37 миллиграммам.
Решение
Шаг 1. Фраза «уменьшается вдвое» показывает убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 0{,}5$. Начальная масса $b_1 = 148$. Искомая финальная масса $b_n = 37$. Период одного цикла составляет 4 минуты. Нам нужно узнать количество шагов деления масс, чтобы потом умножить это количество на время одного шага.
Шаг 2. Задачу удобно решить логическим перебором. Спустя первые 4 минуты масса уменьшится в два раза и составит 74 миллиграмма (148 поделить на 2). Спустя ещё 4 минуты масса снова упадёт и составит 37 миллиграммов (74 поделить на 2).
Шаг 3. Нужное значение достигнуто за два полных цикла распада. Каждый цикл занимал 4 минуты:
$2 \cdot 4 = 8$
Ответ: 8.
Ловушки экзамена и типичные ошибки
Авторы вариантов часто расставляют ловушки в формулировках. Обрати внимание на самые популярные места потери баллов при оформлении решений.
- Путаница между конкретным шагом и общей суммой. Не ищи количество зрителей в последнем ряду, если в вопросе спрашивают вместимость кинотеатра. Подчёркивай слова «всего» или «за весь период». Если они присутствуют, применяй формулу суммы $S_n$.
- Проблема подсчёта количества элементов. Не вычитай из конечной даты начальную дату в лоб. Если турист находился в экспедиции с 3 по 9 августа, при подсчёте учитывается первый день старта. Вычисление выглядит так: $9-3 + 1 = 7$. Учитывай это правило при определении параметра $n$.
- Потеря знака минус при убывании. Внимательно читай направление условия задачи. Если спортсмен каждый день пробегал дистанцию на 100 метров меньше, разность $d$ будет равна строго $-100$. Обязательно вставляй отрицательное число в математическую формулу.
Задания для самопроверки
Реши эти тренировочные задания самостоятельно, чтобы удостовериться в полном понимании темы.
Задание 1. Спортсмен в первый день тренировки пробежал 2000 метров. Каждый последующий день он увеличивал дистанцию на 300 метров. Какую дистанцию спортсмен пробежит в пятый день?
Шаг 1. Маркер «на 300 метров больше» означает арифметическую прогрессию.
Шаг 2. Дано: $a_1 = 2000, \, d = 300, \, n = 5$.
Шаг 3. Требуется найти элемент на пятый день, применяем формулу $a_n$.
Шаг 4. Вычисление: $a_5 = 2000 + 300 \cdot (5-1) = 2000 + 300 \cdot 4 = 2000 + 1200 = 3200$.
Ответ: 3200.
Задание 2. Альпинист в первый день подъёма преодолел 400 метров высоты. В каждый последующий день он проходил на 50 метров меньше, чем в предыдущий день. Какую общую высоту наберёт альпинист за 6 дней подъёма?
Шаг 1. Показатели убывают, применяется арифметическая прогрессия с отрицательной разностью.
Шаг 2. Дано: $a_1 = 400, \, d = -50, \, n = 6$.
Шаг 3. Слово «общую» означает поиск суммы $S_n$.
Шаг 4. Вычисление:
$S_6 = \dfrac{2 \cdot 400 + (-50) \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = \dfrac{800-250}{2} \cdot 6 = \dfrac{550}{2} \cdot 6 = 275 \cdot 6 = 1650$.
Ответ: 1650.
Заключение
Теперь ты понимаешь логику решения задания 14 в ОГЭ по математике. Ты умеешь находить маркеры прогрессий в текстовых условиях, выбирать правильные формулы и обходить ловушки при подсчёте чисел. Чтобы уверенно применять теорию на экзамене, рекомендуем решить 8–10 разнотипных тренировочных задач в нашем банке задач. Особое внимание удели вариантам, где значения падают и разность прогрессии становится отрицательной.
