Главное свойство
Любые манипуляции с дробями основаны на одном принципе: значение дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно число (кроме нуля).
$ a/b = (a · c) / (b · c) и a/b = (a ÷ c) / (b ÷ c), $ где c ≠ 0.
Практический смысл:
Сокращение: 48/60 = (48 ÷ 12) / (60 ÷ 12) = 4/5.
Приведение к новому знаменателю: 3/7 = (3 · 4) / (7 · 4) = 12/28.
Поиск общего знаменателя
Сложение и вычитание требуют «общей почвы» — одинакового знаменателя.
План действий:
- Найти НОК исходных знаменателей. Это число станет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
- Вычислить доп. множитель для каждой дроби: НОЗ ÷ исходный_знаменатель.
- Преобразовать: умножить числитель и знаменатель на найденный множитель.
Разберём на примере: привести 3/8 и 5/12 к общему знаменателю.
НОК (8, 12) = 24.
Для 3/8: 24 ÷ 8 = 3 (доп. множитель).
Для 5/12: 24 ÷ 12 = 2 (доп. множитель).
Результат: 3/8 = 9/24; 5/12 = 10/24.
Сложение и вычитание, когда знаменатели стали общими
Как только дроби приведены к одному знаменателю, работа сводится к операциям с числителями.
Алгоритм:
- Привести к НОЗ.
- Выполнить сложение или вычитание числителей.
- Записать результат над общим знаменателем.
- Сократить полученную дробь, если это возможно.
7/15 – 1/6 = 14/30 – 5/30 = (14 – 5)/30 = 9/30 = 3/10
Умножение: самый прямой путь
Здесь не нужен общий знаменатель.
Правило простое: числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.
$ a/b · c/d = (a · c) / (b · d) $
Секрет эффективности — предварительное сокращение. Можно сокращать любые числитель и знаменатель, даже из разных дробей.
(8/21) · (7/12) = (2 · 1) / (3 · 3) = 2/9
(сократили 8 и 12 на 4, 7 и 21 на 7).
Деление: операция «переворота»
Деление дробей подчиняется следующему правилу: чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (то есть перевёрнутую).
$ a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a · d) / (b · c) $
(5/9) ÷ (10/3) = 5/9 · 3/10 = (1 · 1) / (3 · 2) = 1/6.
Смешанные числа
Число вида 2 3/4 — это сумма целой части и дробной: 2 + 3/4.
Перевод в неправильную дробь: 2 3/4 = (2 · 4 + 3) / 4 = 11/4.
Для вычислений всегда лучше перейти к неправильным дробям, выполнить действие, а потом, если нужно, выделить целую часть.
1 1/3 · 1 1/2 = (4/3) · (3/2) = (2 · 1) / (1 · 1) = 2
Риски: где чаще всего ошибаются
1. Простое сложение
Запомни: складывать дроби без общего знаменателя — всё равно что складывать рубли с долларами без конвертации.
Ошибка: 2/3 + 1/2 = 3/5.
Верно: 4/6 + 3/6 = 7/6.
2. Забытый «переворот»
Мнемоническое правило: делить на дробь — всё равно что умножить на неё «вверх ногами».
3. Потеря знака минус
Отрицательная дробь требует такого же внимания к знакам, как и целое отрицательное число.
4. Фатальное сокращение
Сокращать можно только множители, а не слагаемые! Это грубая, но распространённая ошибка.
Ошибка: (7 + 4) / (7 + 9) = 4/9 (сокращать 7 на 7 нельзя!).
Верно: (7 + 4) / (7 + 9) = 11/16.
Заключение
База в работе с дробями — это не зубрёжка, а понимание логики и регулярная практика. Решай примеры осознанно, прописывай каждый шаг и проводи работу над ошибками. Этот навык станет твоим надёжным инструментом не только на экзаменах, но и в дальнейшем обучении.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
