Введение
В этой статье мы разберём одну из самых интересных и визуально красивых тем курса алгебры — построение графиков функций, содержащих знак модуля. В ОГЭ это задание № 22 — задача повышенного уровня сложности из второй части.
Здесь требуется не просто нарисовать график, но и исследовать его свойства. Чаще всего нужно определить, при каких значениях параметра m (обычно это прямая y = m) график функции и прямая имеют заданное количество общих точек.
Звучит сложно? На самом деле, если понять алгоритм, задача превращается в увлекательный конструктор.
Суть темы: что такое модуль и как его раскрывать
Главное правило, которое нужно выучить:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ −x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Модуль делает число неотрицательным.
В задании № 22 модуль может стоять:
- Отдельно: например, y = |x| – 2;
- Внутри более сложного выражения: например, y = x|x| — это произведение икса на модуль икса;
- Внутри линейной функции: например, y = |4x + 7|;
- Внутри квадратичной функции (под модулем весь многочлен) — это один из самых популярных вариантов на ОГЭ: например, y = |x² – 4| или y = |x² – 4x + 3|.
Важный принцип
Чтобы построить график функции с модулем, нужно забыть про модуль как про магию и вспомнить про кусочную функцию. Мы разбиваем числовую ось на промежутки в зависимости от того, что стоит под модулем, и на каждом промежутке записываем функцию без модуля, с учётом знака.
Закономерности построения
Случай А. Модуль от икса ( |x| ) внутри функции
Функция y = x|x| – |x| – 3x.
Алгоритм:
- Находим точку смены знака модуля: x = 0.
- При x ≥ 0 ( |x| = x ): подставляем в функцию и упрощаем. Получаем y = x² – 4x (парабола, ветви вверх).
- При x < 0 ( |x| = -x ): подставляем. Получаем y = -x² – 2x (парабола, ветви вниз).
- Строим обе параболы, но только на своих промежутках! (Например, правую ветку строим для x ≥ 0, левую — для x < 0).
Случай Б. Модуль от линейного выражения ( |kx + b| )
Функция y = x² – |4x + 7|.
Алгоритм:
- Находим точку смены знака: 4x + 7 = 0 ⇒ x = -1,75.
- При x ≥ -1,75 (выражение под модулем неотрицательно): y = x² – (4x + 7) = x² – 4x – 7.
- При x < -1,75 (выражение под модулем отрицательно): y = x² – (-(4x + 7)) = x² + 4x + 7.
- Строим две параболы (обе с ветвями вверх, но с разными вершинами), каждая на своём интервале.
Случай В. Модуль над всей квадратичной функцией ( |f(x)| )
Функция y = |x² – 4x + 3|.
Это самый удобный случай для построения.
- Сначала строим график функции без модуля: y = x² – 4x + 3 (обычная парабола, ветви вверх). Находим её корни (x = 1 и x = 3) и вершину (2; -1).
- Правило модуля: модуль «съедает» отрицательные значения. Всё, что находится ниже оси X (где y < 0), нужно отразить зеркально вверх, относительно этой оси.
- Часть параболы, которая была выше оси X (ветки слева от x = 1 и справа от x = 3), остаётся на месте. Часть, которая была ниже оси X (между точками 1 и 3), отображается вверх. Вершина (2; -1) перейдёт в точку (2; 1).
- Итоговый график будет похож на букву W или на «птичку» с тремя экстремумами.
Задачи и примеры заданий из ОГЭ
Задача 1. Классика распадающихся парабол
Условие:
Постройте график функции y = x|x| – |x| – 3x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
- Раскрываем модуль:
- При x ≥ 0: y = x² – 4x. Вершина (2; -4). Точки для построения: (0; 0), (1; -3), (3; -3), (4; 0).
- При x < 0: y = -x² – 2x. Вершина (-1; 1). Точки для построения: (-2; 0), (-3; -3), (-4; -8). Точка (0; 0) принадлежит первому куску (закрашена), а для второго куска x < 0, поэтому (0; 0) выколота (пустой кружок).
- Строим график (обязательно отмечаем, что точка (0; 0) — общая для обоих кусков, но на левом промежутке она не учитывается).
- Анализируем пересечения с прямой y = m:
- Проводим мысленно горизонтальные линии.
- Две общие точки будет в двух случаях:
- Когда прямая проходит через вершину левой параболы (самую высокую точку графика). Это m = 1.
- Когда прямая проходит через вершину правой параболы (самую низкую точку графика). Это m = -4.
Ответ: m = -4 и m = 1.
Задача 2. Модуль от линейного выражения
Условие:
Постройте график функции y = x² – |4x + 7|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
- Раскрываем модуль:
- При x ≥ $\frac{-7}{4}$: y = x² – 4x – 7. Вершина (2; -11). Точка стыка: при x = -1,75, y = $\frac{49}{16}$.
- При x < $\frac{-7}{4}$: y = x² + 4x + 7. Вершина (-2; 3). Точка стыка: при x = -1,75, y = $\frac{49}{16}$ (то же значение, график непрерывен).
- Строим график. Получается «впадина» слева и «подъём» справа.
- Ищем три общие точки. Горизонтальная прямая может пересечь этот график в трёх точках только в особых положениях:
- Когда она проходит через вершину левой параболы (m = 3). В этом случае слева будет одна точка (вершина), а справа — две.
- Когда она проходит через точку стыка графиков ($m = \frac{49}{16}$ или 3,0625). В этом случае прямая касается графика в точке стыка (считается за одну) и пересекает правую ветку ещё в двух точках.
Ответ: $m = 3$ и $m = \frac{49}{16}$.
Задача 3. Модуль над квадратичной функцией
Условие:
Постройте график функции y = |x² – 4x + 3|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
- Строим параболу без модуля: y = x² – 4x + 3.
- Корни: x₁ = 1, x₂ = 3.
- Вершина: x₀ = 2, y₀ = -1. (2; -1).
- Применяем модуль. Часть параболы ниже оси X (на отрезке [1; 3]) отражаем вверх.
- Новая вершина отражённой части будет в точке (2; 1).
- Ветви параболы на промежутках (-∞; 1] и [3; +∞) остаются без изменений.
- Анализируем пересечения с прямой y = m:
- Рисуем горизонтальные линии.
- Одна общая точка: при m < 0 (прямая ниже графика).
- Две общие точки: при m = 0 (прямая касается «подошв» в точках x = 1 и x = 3) и при m > 1 (выше отражённой вершины).
- Три общие точки: при m = 1. В этом случае прямая проходит через «зубец» — отражённую вершину (2; 1) и пересекает обе боковые ветки. Больше трёх точек не будет.
- Четыре общие точки: при 0 < m < 1.
Ответ: m = 1.
Короткие примеры для тренировки
- Пример А. Сколько общих точек с прямой y = m имеет график функции y = |x² – 4|? (Подсказка: вершина в (0; -4), корни в ±2. Ответ: три общие точки при m = 4.)
- Пример Б. При каких m прямая y = m пересекает график y = |x² – 6x + 5| ровно в двух точках? (Подсказка: корни 1 и 5, вершина (3; -4). Нужно перебрать положения прямой.)
Типичные ошибки и как их избежать
1. Неправильное раскрытие модуля, особенно когда перед ним стоит минус
Ошибка: при раскрытии модуля ученики не меняют знак всего выражения или путают знаки.
Как избежать: всегда проверяй себя на простом числе. Например, для функции y = x² – |4x + 7| при x = -2 (это меньше -1,75): y = 4 – | -8 + 7| = 4 – 1 = 3. А теперь проверь свою формулу для этого куска: y = x² + 4x + 7. При x = -2: 4 – 8 + 7 = 3. Сошлось — отлично!
2. Игнорирование условие для «куска»
Ошибка: строят всю параболу полностью, забывая, что она должна быть ограничена своим промежутком.
Как избежать: рисуя график, всегда мысленно ставь ограничитель. Если ты строишь параболу для x ≥ 0, проведи вертикальную линию по оси Y и сотри ластиком всё, что левее неё.
3. Неправильная работа с выражением вида |f(x)|
Ошибка: в случае |f(x)| ученики забывают отразить участок — просто стирают отрицательную часть.
Как избежать: запомни: модуль не убивает график, он его отражает. Если часть графика была ниже оси X, после модуля она появится выше оси X симметрично.
4. Неправильный подсчёт точек пересечения с прямой y = m
Ошибка: неверно определяют количество общих точек.
Как избежать: рисуй график аккуратно. Проведи несколько горизонтальных линий (выше всех, чуть ниже, прямо по вершинам, по точкам стыка) и буквально посчитай количество пересечений каждой линии с графиком. Это лучший способ не ошибиться.
Заключение
Теперь ты умеешь:
- Превращать функцию с модулем в кусочную функцию (или применять метод отражения для |f(x)|).
- Строить графики парабол (и прямых) на заданных промежутках.
- Анализировать положение горизонтальной прямой y = m и находить особые точки графика (вершины, точки стыка, точки отражения), где количество пересечений меняется.
Это значит, что ты можешь решить любую задачу № 22 из ОГЭ на эту тему. Главное — внимательность и аккуратный чертёж. Удачи на экзамене!
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
