Введение
С координатами вектора и координатами точек мы уже разобрались. Значит, можно идти дальше! В этой статье мы рассмотрим действия с векторами как с геометрической, так и с аналитической точек зрения.
Умножение вектора на число
Пусть $\vec{a}\{x_1;y_1\}$ лежит на плоскости, а мы его хотим растянуть или сжать. Это будет отражаться операцией умножения вектора на число. Чтобы выполнить умножение $\vec{a}\{x_1 ; y_1\}$ на число n, нужно просто умножить на него координаты: $$n \cdot \vec{a} = \{ n x_1; n y_1 \}$$
Пример 1. Для $\vec{a}\{ 5 ;8 \}$ найдите обратный вектор.
Обратный вектор ещё называют противоположным (тем, который такой же по длине, но отличается направлением). Чтобы изменить его направление, нужно умножить его на n = −1: $−1 \cdot \vec{a} = −\vec{a} \{−5; −8\}$.
Ответ: $ −\vec{a} \{−5; −8\}$.
Сложение и вычитание векторов
Пусть на плоскости даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\} \text{ и } \vec{b}\{x_2; y_2\}$.
Чтобы сложить их, необходимо сложить соответствующие координаты: $\vec{a} + \vec{b} = \{ x_1 + x_2; y_1 + y_2 \}$. В результате сложения координат получаются новые координаты, что означает, что сумма векторов — это тоже вектор $\vec{S} = \vec{a} + \vec{b}$.
Сразу заметим, что таким образом можно складывать любое количество векторов, а в результате получать новый вектор. Например, пусть ещё у нас есть $$\vec{c}\{x_3; y_3\} \ \vec{S} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \{x_1 + x_2 + x_3; y_1 + y_2 + y_3\}$$
Если же мы хотим найти разность $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то $ \vec{a} − \vec{b} = \{x_1 − x_2; y_1 − y_2\}$. Потому что сложение и вычитание не отличаются, ведь любую разность мы легко превратим в сумму с противоположным: $ \vec{a} − \vec{b} = \vec{a} + (−\vec{b})$.
Пример 2. Даны$\vec{a}\{6; −4\}$ и $\vec{b}\{−3; −3\}$ и $\vec{c}\{−5; −8\}$. Найти длину вектора $3\vec{a} − 4\vec{b} − 3\vec{c}$.
Начнём по порядку находить координаты векторов-слагаемых:
$$
\begin{aligned}
&3\vec{a} = \{18; −12\} \\
&4\vec{b} = \{−12; −12\} \\
&3\vec{c} = \{−15; −24\} \\
&3\vec{a} − 4\vec{b} − 3\vec{c} = \{18 − (−12) − (−15); −12 − (−12) − (−24)\} = \{45; 24\} \\
&|3\vec{a} − 4\vec{b} − 3\vec{c}| = \sqrt{45^2 + 24^2} = \sqrt{2025 + 576} = \sqrt{2601} = 51
\end{aligned}
$$
Ответ: 51.
Правило треугольника. Правило параллелограмма
Существуют два геометрических правила для сложения и вычитания векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.
Правило треугольника выглядит следующим образом:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Разность изображается аналогично, только складываем с противоположным вектором $(−\vec{b})$:
В общем виде правило для вычитания выглядит вот так:
$\vec{AB} − \vec{AC} = \vec{CB}$
Важно! Нельзя путать направление. Складываемые векторы идут последовательно, а вектор суммы от начала первого к концу последнего. По такому правилу можно складывать несколько векторов, тогда правило треугольника превращается в правило многоугольника:
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$
Второе правило требует помещения складываемых векторов началами в одну точку и достраивания до параллелограмма. Тогда диагональ, исходящая из той же точки, будет являться суммой двух векторов.
$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$
Пример 3. На рисунке изображён прямоугольник DSPT. Найти $|\vec{DZ}+\vec{SZ}|$, если DS = 16, SP = 30.
Для начала найдём вектор, равный сумме $\vec{DZ} + \vec{SZ}$, для этого нужно придумать перенос $\vec{SZ}$ таким образом, чтобы применить правило треугольника.
$\vec{SZ} = \vec{ZT}$ (так как они сонаправлены и равны по длине, ведь диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам), поэтому рассмотрим сумму $\vec{DZ} + \vec{SZ} = \vec{DZ} + \vec{ZT} = \vec{DT}$ по правилу треугольника. Значит, нам достаточно найти $|\vec{DT}| = 30$ (как противоположные равные стороны прямоугольника).
Ответ: 30.
Кстати, есть приём, помогающий не запутаться в направлении вектора при нахождении суммы. Назовём его «склейка векторов».
Например, мы считали $\vec{DZ} + \vec{ZT}$, но забыли правило и не знаем, что получится в результате: $\vec{DT}$ или $\vec{TD}$? Обращаем внимание на буквы посередине (последняя буква первого вектора и первая буква второго): они одинаковые — Z. Представь, что векторы по одинаковой букве могут склеиться. И тогда, убрав эту букву, мы получаем $\vec{DT}$!
Пример 4. На рисунке изображён прямоугольник KOZE. Найти $|\vec{KC} − \vec{OC}|$, если OK = 27, OZ = 36.
Для начала найдём вектор, равный разности $\vec{KC} − \vec{OC}$. Так как они не отложены от одной точки, мы заменим разность на сумму с противоположным: $\vec{KC} − \vec{OC} = \vec{KC} + (−\vec{OC}) = \vec{KC} + \vec{CO} = \vec{KO}$ (воспользовались приёмом «склейки» двух слагаемых по одинаковой букве).
Значит, нам достаточно найти $|\vec{KO}|= 27$.
Ответ: 27.
Конечно, для нахождения длины нам неважно, какой именно взять вектор: $\vec{KO}$ или $\vec{OK}$. Но находить вектор суммы нужно сразу правильно, потому что в дальнейшем тебе это неоднократно пригодится.
Пример 5. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти $|\vec{AB}+\vec{AC}|$, если $AB = 13\sqrt{3}$.
$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$ по правилу параллелограмма.
Тогда $|\vec{AB} + \vec{AC}| = |\vec{AD}|$.
Найдём длину отрезка AD. Параллелограмм с равными сторонами — ромб. Значит, диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
Треугольник ABD — равнобедренный.
Тогда $|\vec{AD}|= 2x = 39$.
Ответ: 39.
Заключение
Таким образом, векторы являются не только самостоятельным и интересным объектом для изучения, но и отличным вспомогательным инструментом при решении задач на многоугольники, а далее и на многогранники.
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
