Что такое производная?
Представь: лето, тепло, все экзамены позади и ты берёшь свой велосипед и с друзьями отправляешься кататься по парку Крылатские холмы… С большим усилием поднимаешься по дороге вверх, останавливаешься и любуешься видом на вершине, с лёгкостью и ветром в волосах спускаешься вниз и так много-много раз.
А теперь представь, что твой маршрут изобразили на листе бумаги и поместили в систему координат. Он выглядит примерно так:
Что ж, помечтали и хватит, пора возвращаться в реальность и посмотреть на полученный график сквозь призму изменения скорости. Чем круче подъём, тем медленнее ты поднимаешься. На вершине или в яме — велосипед останавливается. А на спуске может лететь очень быстро, если он крутой, а может медленнее, если спуск более пологий.
Примерно то же самое интересует физиков, химиков, биологов, экономистов и других узких специалистов, наблюдающих за каким-то явлением по графику. Нас с тобой будет интересовать поведение любого графика функции, задающегося уравнением y=f(x). А чтобы по графику сделать выводы о её поведении мы будем использовать производную этой функции y=f'(x).
Производная функции — показатель того, насколько быстро меняется функция. Задача — вычислить скорость этого изменения в конкретной точке.
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции
Пусть наш велосипедист замер в какой-то точке своего пути. На графике это будет обозначаться как точка, имеющая координаты (x₀,y₀). Построим касательную к этой точке. Касательная — это прямая, а значит её всегда можно задать уравнением линейной функции y=kx+b.
Оказывается, значение производной в точке равно коэффициенту угла наклона касательной, которая проведена к этой точке.
$f'(x₀) = k$
Рассмотрим касательную, задающуюся уравнением прямой
$ y=kx+b, $
и восстановим его с помощью точек А (1; 0) и В (7; 5).
$ 0 = k+b; $
$ 5 = 7k+b; $
$ b = -k; $
$ 5 = 7k-k; $
$ 5 = 6k; $
$ k = \frac{5}{6}. $
Более того, сейчас мы посмотрим на производную с точки зрения геометра, который фиксирует две точки на касательной и проводит через них параллельные прямые до пересечения, тем самым получая прямоугольный треугольник, где часть касательной — гипотенуза, а катеты — отрезки параллельных осям координат прямых (или совпадающие с ними).
k — коэффициент угла наклона прямой. Как ты помнишь, это угол, который наша касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. На рисунке это угол BAC, назовём его . Так как наш велосипедист находится в точке с нецелыми координатами, то рассмотрим треугольник ABC, в котором угол остаётся всё тем же.
А чтобы его найти, обратимся к тригонометрии. Вспомни: tg равен отношению катетов, что, в свою очередь, полностью совпадает со строгим определением производной — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
$ tg= \frac{BC}{AC} = \frac{5}{6}. $
Таким образом:
$f'(x) = k = tg.$
Практика
Теперь рассмотрим всё это на примерах из экзамена.
Пример 1.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найди значение производной функции f(x) в точке x₀.
Рассмотрим треугольник АВС.
Угол наклона — угол BAC, вычислим для него $ tg BAC= \frac{2}{2} =1. $
Значит, значение производной в точке касания также равно единице.
Ответ: 1.
Следующий пример будет с проблемкой в виде того, что касательная образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс. В этом случае у тебя есть два варианта решения:
- вычисли значение коэффициента k, восстановив уравнение прямой-касательной. Помни, что когда функция убывающая, то значение будет отрицательным.
- также построй прямоугольный треугольник и вычисли значение тангенса для смежного с углом угла (180-α). Применив формулу приведения tg(180-α) = -tgα, получишь нужное значение для угла α.
Пример 2.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найди значение производной функции f(x) в точке x₀.
Выберем удобный треугольник (вообще любой, главное, чтобы был прямоугольный и гипотенуза была частью касательной, а вычисления были точными) и вычислим значение тангенса для смежного с углом угла (180-α):
$ tg(180 – \alpha) = -tg\alpha = -\frac{9}{8} = -1,125. $
Ответ: –1,125.
Пример 3.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Найди количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −10 или совпадает с ней.
Касательная параллельна прямой y = −10, значит, параллельна и оси абсцисс. Это возможно при значении углового коэффициента k = 0⇒ значение производной должно быть равным нулю. Так как перед нами график функции, то вспоминаем, что производная равна нулю в точках экстремума (вершины и ямы на графике). Посчитав их количество, понимаем, что таких точек 5.
Ответ: 5.
Пример 4.
На рисунке изображён график производной функции y = f(x). Найди количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x+1 или совпадает с ней.
Графики прямых параллельны ⇔ одинаковые углы наклона, то есть равны коэффициенты k. У прямой y = 2x +1 k = 2, значит, на графике производной необходимо найти точки, в которых значение f'(x) =2. Для этого построим горизонтальную прямую y=2 и определим количество точек пересечения с графиком.
Ответ: 1.
Пример 5.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Найди корень уравнения f’(x) = 0.
Перед нами график функции. Производная равна нулю в точках экстремума, на нашем графике это вершина параболы. Корнем уравнения является число, соответствующее xᵦ = -5.
Ответ: –5.
Заключение
Таким образом, у тебя есть два способа решать задания, связанные с геометрическим смыслом производной, а это поможет тебе качественно выполнить проверку и точно не допустить ошибку в задании экзамена.
Автор статьи
