Неверное определение знака тригонометрической функции — частая ошибка при решении заданий профильного ЕГЭ. Чтобы не терять баллы, важно понимать определения функций и их связь через основное тригонометрическое тождество. В этой статье разберём базовую теорию, научимся определять знаки в разных четвертях окружности и уверенно решать задания 7 и 13.
Как работать с числовой окружностью
Рассмотрим окружность с радиусом, равным единице. Центр единичной окружности совпадает с началом прямоугольной системы координат $0xy$. Началом отсчёта будем считать положительное направление оси $0x$. Любому углу $\alpha$ соответствует точка на этой окружности.
- Косинус угла $\alpha$ соответствует абсциссе этой точки (координате $x$).
- Синус угла $\alpha$ обозначает ординату этой точки (координате $y$).
- Тангенс угла $\alpha$ равен отношению координаты $y$ к координате $x$. Формула тангенса выглядит так: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Координатная плоскость делится осями на четыре равные четверти. Знак тригонометрической функции зависит от того, в какую именно область попадает заданный угол. Рассмотрим каждую четверть.
- Первая четверть. В этой четверти $x > 0$ и $y > 0$, поэтому $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$, также $\tg \alpha > 0$.
- Вторая четверть. Здесь $x < 0$, а $y > 0$. То есть $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha > 0$. Следовательно, $\tg \alpha < 0$.
- Третья четверть. $x < 0$ и $y < 0$. Значит, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha 0$.
- Четвёртая четверть. $x > 0$, а $y < 0$, поэтому $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$, также $\tg \alpha < 0$.
Зависимость между функциями одного угла
Главная формула — основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
С помощью этой формулы можно вычислить синус, зная косинус, и наоборот. Но при извлечении корня важно поставить $\pm$, а затем выбрать нужный знак в зависимости от четверти, в которой находится определяемая функция:
$\cos \alpha = \pm \sqrt{1-\sin^2 \alpha}$.
Также важно запомнить формулу, связывающую косинус и тангенс:
$1 + \tg^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Алгоритм решения заданий
Чтобы найти значение одной тригонометрической функции по известному значению другой, используй алгоритм:
- Запиши известное (или заданное) значение функции и интервал, которому принадлежит угол.
- Определи, в какой четверти лежит заданный угол.
- Выпиши нужную формулу связи функций.
- Вырази неизвестную функцию через формулу с квадратным корнем и поставь перед корнем правильный знак.
- Подставь числовые значения и вычисли ответ.
Разбор заданий из профильного ЕГЭ по математике
Разберём реальные задания экзамена.
Пример 1 (задание 7)
Найдите $\cos \alpha$, если $\sin \alpha=-0{,}8$ и $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.
Решение
Шаг 1. Из основного тригонометрического тождества выразим косинус:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$;
$\cos^2 \alpha = 1-\sin^2 \alpha$;
$\cos \alpha = \pm \sqrt{1-\sin^2 \alpha}$.
Шаг 2. Так как $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$, угол находится в третьей четверти. В ней значение косинуса отрицательное, выбираем формулу с минусом:
$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha}$.
Шаг 3. Вычислим значение косинуса, подставив $\sin \alpha=-0{,}8$:
$\cos \alpha=-\sqrt{1-(-0{,}8)^2}=-\sqrt{1-0{,}64}=-\sqrt{0{,}36}=-0{,}6$.
Ответ: $-0{,}6$.
Пример 2 (задание 7)
Найдите $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{5\sqrt{26}}{26}$ и угол $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.
Решение
Шаг 1. Из формулы связи косинуса и тангенса выразим $\tg \alpha$:
$1 + \tg^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$;
$\tg^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}-1$;
$\tg \alpha = \pm \sqrt {\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}-1}$.
Шаг 2. По условию угол находится в четвёртой четверти, где тангенс отрицателен. Выбираем знак минус:
$\tg \alpha=-\sqrt {\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}-1}$.
Шаг 3. Найдём значение тангенса по полученной формуле:
$\tg \alpha=-\sqrt {\dfrac{1}{ \left( \dfrac{5\sqrt{26}}{26} \right) ^2}-1}=-\sqrt {\dfrac{1}{\dfrac{25}{26}}-1}=-\sqrt {\dfrac{26}{25}-1}=-\sqrt {\dfrac{1}{25}}=-\dfrac{1}{5}=-0{,}2$.
Ответ: $-0{,}2$.
Пример 3 (задание 13)
Решите уравнение $2\sin^2 x-\cos x-1 = 0$.
Решение
Шаг 1. По основному тригонометрическому тождеству заменим синус в квадрате на косинус ($\sin^2 x = 1-\cos^2 x$):
$2(1-\cos^2 x)-\cos x-1 = 0$.
Шаг 2. Раскроем скобки в уравнении:
$2-2\cos^2 x-\cos x-1 = 0$;
$-2\cos^2 x-\cos x + 1 = 0$;
$2\cos^2 x + \cos x-1 = 0$.
Шаг 3. Введём замену переменной $t = \cos x$:
$2t^2 + t-1 = 0$.
Шаг 4. Решим квадратное уравнение:
$D = 1^2-4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$;
$t_1 = \dfrac{-1-\sqrt 9}{2 \cdot 2}=-\dfrac{4}{4}=-1$;
$t_2 = \dfrac{-1+\sqrt 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
Шаг 5. Сделаем обратную замену:
$\cos x=-1$;
$\cos x = \dfrac{1}{2}$.
Шаг 6. Решим первое полученное уравнение:
$\cos x=-1$;
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 7. Решим второе полученное уравнение:
$\cos x = \dfrac{1}{2}$;
$x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi + 2\pi k$; $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Типичные ошибки на экзамене
В тригонометрии выпускники чаще всего ошибаются в нескольких моментах:
- Выбор знака перед корнем. Распространённая ошибка — писать формулу $\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha}$ всегда с плюсом, игнорируя четверть. Перед извлечением корня нужно посмотреть на заданный промежуток угла и выбрать знак.
- Перепутанные оси. Помни, что косинус соответствует значениям по оси $Ox$, а синус — по оси $Oy$.
- Неправильная формула тангенса. При вычислении тангенса ошибочно делить косинус на синус (это функция котангенса). Нужно всегда делить синус на косинус.
- Ограничение значений синуса и косинуса. Помни, что синус и косинус принимают значения от $-1$ до $1$ включительно. Если при решении уравнения получилось, что $\sin x = 2$, оно не имеет решений.
Проверь себя
Потренируйся на этих заданиях для закрепления знаний.
Задание 1. Вычисли $\sin \beta$, если $\cos \beta=-\sqrt {0,96}$ и угол $\beta$ принадлежит второй четверти.
Знак синуса во второй четверти — плюс. Применим основное тригонометрическое тождество:
$\sin \beta = \sqrt{1-\cos^2 \beta} = \sqrt{1-\left(-\sqrt{0{,}96} \right)^2} = \sqrt{1-0{,}96} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2$.
Ответ: $0{,}2$.
Задание 2. Какой знак имеет $\tg \frac{11\pi}{12}$?
Оценим, в какой четверти находится угол $\frac{11\pi}{12}$:
$\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{11\pi}{12} < \pi$ — вторая четверть.
В этой четверти тангенс принимает отрицательные значения.
Ответ: минус.
Задание 3. Известно, что $\tg \alpha = 2$ и угол $\alpha$ лежит в первой четверти. Найди $\cos \alpha$.
Используем формулу связи тангенса и косинуса:
$1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим известное значение:
$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;
$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;
$5 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Следовательно, $\cos^2 \alpha = \frac{1}{5} = 0{,}2$. Учитывая, что угол находится в первой четверти, мы выбираем значение с плюсом и получаем: $\cos \alpha = \sqrt{0{,}2}$.
Ответ: $\sqrt{0{,}2}$.
Подводим итог
Теперь ты понимаешь, как устроена единичная числовая окружность и за какую ось отвечает каждая из тригонометрических функций. Главное правило при поиске значения через формулу квадрата — обращать внимание на координатную четверть угла, чтобы не потерять знак минус. Это убережёт от досадных ошибок и потери баллов на экзамене. В уравнениях второй части всегда помни про основное тождество и ограничение значений функций синуса и косинуса от $-1$ до $1$ включительно.
Чтобы закрепить навыки применения тригонометрических формул, порешай задачи из нашего банка заданий — там собраны прототипы, которые регулярно встречаются на ЕГЭ. Регулярная практика поможет довести алгоритмы вычислений до автоматизма.
