Введение
Знаешь, почему 30% ошибок в геометрии на ОГЭ и ЕГЭ связаны с окружностью? Потому что задачи выглядят по-разному, но решаются одними и теми же 5 ключевыми теоремами. Не умение их распознать — главная ловушка. Эта статья — твой навигатор. Мы разберём не просто теорию, а конкретные схемы, которые встретятся на экзамене.
Что ты получишь, прочитав эту статью до конца
- Научишься мгновенно определять, какую из 5 теорем применять в задаче.
- Разберём по косточкам типовые задания из ОГЭ (задачи 16, 23–25) и ЕГЭ (задачи 1, 17).
- Поймёшь разницу между теоремой о секущих и теоремой о касательной и секущей.
- Проверишь себя: сразу после каждого блока — задача для самостоятельного решения со скрытым ответом.
Теория «по кусочкам»: 5 схем для победителя
Забудь про зубрёжку формул. Запомни 5 геометрических картинок (схем). Каждая картинка — это готовая связка «условие → теорема → уравнение».
Схема 1: хорда и её расстояние от центра (Пифагор в невидимом треугольнике)
Микро-тема: часто на чертеже хорда и радиус нарисованы, а прямоугольный треугольник — нет. Твоя задача — достроить его мысленно.
Суть: радиус, проведённый к середине хорды, перпендикулярен ей. Получается прямоугольный треугольник:
Гипотенуза: радиус (R).
Катеты: расстояние от центра до хорды (d) и ПОЛОВИНА хорды ($\frac{L}{2}$).
Формула-следствие: $R^2 = d^2 + \frac{L}{2}^2$.
Как это выглядит на экзамене? Даны две хорды, их длины или расстояния. Нужно найти что-то одно.
Разбор задачи (ОГЭ)
В окружности проведены две параллельные хорды длиной 14 и 48. Известно, что расстояние от центра до первой хорды равно 24. Найди расстояние от центра до второй хорды.
- Шаг 1 (рисуем схему для первой хорды): опускаем перпендикуляр из центра. Получаем треугольник: R, d₁=24, $\frac{L_1}{2}=7$.
- Шаг 2 (считаем R²): $R^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 \implies R = 25$.
- Шаг 3 (применяем схему ко второй хорде): для второй хорды: $25^2 = d_2^2 + \frac{48}{2}^2 = d_2^2 + 576$.
- Шаг 4 (решаем): $d_2^2 = 625 − 576 = 49 \implies d_2 = 7$.
Ответ: 7.
Рубрика: ловушка экзамена
Ошибка №1: использовать полную длину хорды вместо ПОЛОВИНЫ в формуле Пифагора.
Как нельзя: $R^2 = 24^2 + 14^2$.
Как нужно: $R^2 = 24^2 + \frac{14}{2}^2$.
За это снимут балл за незнание теоремы.
Проверь себя (закрепи в моменте):
Хорда длиной 24 находится на расстоянии 5 от центра окружности. Чему равен радиус?
(Подумай 10 секунд, потом открой ответ)
Дано: L = 24, d = 5.
Решение: $R^2 = d^2 + \frac{L}{2}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Ответ: $R = \sqrt{169} = 13$.
Схема 2: касательная и радиус (90 градусов — твой лучший друг)
Микро-тема: касательная — это не просто линия. В точке касания с ней всегда встречается радиус под прямым углом. Это создаёт готовый прямоугольный треугольник.
Правило: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Как это выглядит на экзамене? Окружность вписана в угол или касается стороны фигуры. Нужно найти сторону, радиус или отрезок.
Разбор задачи (ЕГЭ/ОГЭ)
Окружность с центром O на стороне AC треугольника ABC касается стороны AB и проходит через вершину C. AB=6, диаметр окружности 6,4. Найди AC.
- Шаг 1 (рисуем схему): соединяем центр O с точкой касания B. По схеме 2: OB ⟂ AB. Треугольник ABO — прямоугольный.
- Шаг 2 (считаем известное): радиус $R = \frac{6,4}{2} = 3,2$ Катеты: AB=6, OB=3,2.
- Шаг 3 (Пифагор): $AO = \sqrt{6^2 + 3,2^2} = \sqrt{36 + 10,24} = \sqrt{46,24} = 6,8$.
- Шаг 4 (собираем ответ): AC = AO + OC (радиус) = 6,8 + 3,2 = 10.
Ответ: 10.
Схема 3: две секущие из одной точки (произведение на произведение)
Микро-тема: из точки вне окружности выходят две линии, каждая пересекает окружность в двух точках. Это секущие. Запомни равенство произведений длин.
Формулировка: для двух секущих, проведённых из одной точки:
(внешняя часть × всю секущую) для первой = (внешняя часть × всю секущую) для второй.
Как это выглядит на экзамене? Даны две пересекающиеся линии, выходящие из одной точки. Известны некоторые отрезки, нужно найти недостающий.
Проверь себя
Из точки K к окружности проведены секущие KAB и KCD. KA=5, AB=7, KC=4. Найди длину хорды CD.
(Попробуй решить, прежде чем смотреть ответ)
- Секущая 1: внешняя часть = KA = 5. Вся секущая = KB = KA + AB = 5+7=12.
- Секущая 2: внешняя часть = KC = 4. Вся секущая = KD = KC + CD = 4 + x.
- Применяем правило: 5 × 12 = 4 × (4 + x).
- Решаем: 60 = 16 + 4x ⇒ 4x = 44 ⇒ x = 11.
Ответ: 11.
Схема 4: две пересекающиеся хорды (часть на часть)
Микро-тема: хорды пересеклись внутри окружности. Точка пересечения делит каждую хорду на два отрезка. Произведения длин этих отрезков равны.
Формулировка:
(отрезок первой хорды до точки) × (оставшийся отрезок первой хорды) = (отрезок второй хорды до точки) × (оставшийся отрезок второй хорды).
Как это выглядит на экзамене? Две хорды образуют «крестик» внутри круга. Даны длины кусочков.
Проверь себя
Хорды AB и CD пересекаются в точке E. AE=4, EB=9, CE в 2 раза короче ED. Найди CE.
(Введи переменную и составь уравнение)
- Обозначаем: пусть CE = y. Тогда, по условию, ED = 2y.
- Применяем правило для хорд: AE × EB = CE × ED.
- Подставляем: 4 × 9 = y × 2y.
- Решаем: 36 = 2y² ⇒ y² = 18 ⇒ y = √18 = 3√2 (длина положительна).
Ответ: 3√2.
Схема 5: касательная и секущая из одной точки (квадрат касательной)
Микро-тема: из точки вышли два луча: один только коснулся окружности (касательная), а другой прошёл насквозь (секущая). Запомни: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
Формулировка:
(длина касательной)² = (внешняя часть секущей) × (вся секущая).
Рубрика: простая аналогия
Представь, что окружность — это дерево. Касательная — это тень от фонаря, которая только касается кроны. Секущая — луч света, который проходит сквозь крону. Теорема говорит: «Сила (квадрат) чистого касания равна силе проникновения, умноженной на его внешнюю часть».
Разбор задачи (ОГЭ/ЕГЭ)
Из точки P к окружности проведены касательная PA=8 и секущая PBC, проходящая через центр. Длина хорды BC равна 12. Найди радиус.
- Шаг 1 (анализ): если секущая проходит через центр, то BC — диаметр. Значит, радиус $R = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$. (Задача решена за 5 секунд!).
- Шаг 2 (проверка по схеме 5): пусть PB = x (внешняя часть). Тогда PC = x + 12 (вся секущая).
По теореме: PA² = PB × PC ⇒ 8² = x × (x + 12) ⇒ 64 = x² + 12x. Решая, получаем x=4. Это подтверждает, что данные задачи корректны.
Ответ: 6.
Итоговое саммари: чек-лист «что я теперь знаю»
- Вижу хорду и расстояние → в голове всплывает прямоугольный треугольник: $R^2 = d^2 + \frac{L}{2}^2$.
- Вижу касательную → ищу радиус к точке касания и отмечаю прямой угол (90°). Готов к теореме Пифагора.
- Вижу две линии из одной точки, пересекающие окружность → задаю вопрос: «Это две секущие (схема 3) или касательная и секущая (схема 5)?».
- Вижу «крестик» из хорд внутри окружности → пишу равенство произведений отрезков: (AE×EB = CE×ED).
- Алгоритм решения любой задачи:
- ИДЕНТИФИЦИРОВАТЬ схему на чертеже.
- ВЫПИСАТЬ все известные отрезки по этой схеме.
- ОБОЗНАЧИТЬ неизвестное за x.
- ЗАПИСАТЬ уравнение по соответствующей теореме.
- РЕШИТЬ его.
Финальная задача для самопроверки
В окружности радиусом 10 проведена хорда длиной 16. Хорда стягивает дугу в 90°. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды и длину отрезка, соединяющего центр окружности с серединой стягиваемой дуги.
(Используй схемы 1 и 2, а также свойства центральных углов)
- Часть 1 (расстояние до хорды): это чистая схема 1.
R = 10, L = 16 ⇒ $\frac{L}{2} = 8$.
По формуле: 10² = d² + 8² ⇒ 100 = d² + 64 ⇒ d² = 36 ⇒ d = 6. - Часть 2 (отрезок к середине дуги): угол дуги 90° ⇒ соответствующий центральный угол тоже 90°. Значит, радиусы к концам хорды перпендикулярны. Середина дуги лежит посередине этой четверти окружности. Соединив центр с этой серединой, мы получим биссектрису прямого угла. Этот отрезок — гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетами=R.
Его длина = R√2 = 10√2.
Ответ: расстояние до хорды = 6; отрезок до середины дуги = 10√2.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
