Введение
Логарифмические выражения и уравнения — одна из тех тем, которые связывают первую и вторую часть Единого государственного экзамена по математике. Непонимание свойств логарифмов ведёт к ошибкам в, казалось бы, простых заданиях. Давай разберёмся системно.
Основное определение и его следствия
Логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) — это показатель степени c, в которую нужно возвести a, чтобы получить b:
aᶜ = b ⇔ logₐ b = c.
Что важно сразу запомнить:
- Основание a всегда > 0 и ≠ 1.
- Аргумент (подлогарифмическое выражение) b всегда > 0.
Частные случаи: когда логарифм равен нулю или единице
Эти случаи часто используются как «опорные точки» при решении уравнений и требуют автоматического узнавания.
Логарифм, равный единице:
logₐ a = 1.
Объяснение:
В какую степень нужно возвести a, чтобы получить a? В первую. Следует напрямую из определения.
Пример: Упрости выражение: 5^(log₃ 3 – log₅ 5).
log₃ 3 = 1,
log₅ 5 = 1.
Получаем: 5^(1 – 1) = 5⁰ = 1.
Ответ: 1.
Логарифм, равный нулю:
logₐ 1 = 0
Объяснение:
В какую степень нужно возвести a, чтобы получить 1? В нулевую. Это также прямое следствие определения.
Пример: Реши уравнение log₂ (x² – 3x) = 0.
- ОДЗ: x² – 3x > 0 → x(x – 3) > 0 → x ∈ (–∞; 0) ∪ (3; +∞).
- По определению: x² – 3x = 2⁰ → x² – 3x = 1 → x² – 3x – 1 = 0.
- Корни: x = (3 ± √13)/2.
- Проверяем ОДЗ: Оба корня принадлежат промежуткам (–∞; 0) и (3; +∞) соответственно.
Ответ: (3 ± √13)/2.
Ключевые свойства и их ОДЗ (сводная таблица)
Пусть a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, n — любое действительное число.
| Свойство | Формула | Важные ограничения (ОДЗ для применения) |
|---|---|---|
| Логарифм произведения | logₐ (M * N) = logₐ M + logₐ N | M > 0, N > 0 |
| Логарифм частного | logₐ (M / N) = logₐ M – logₐ N | M > 0, N > 0 |
| Логарифм степени | logₐ Mⁿ = n * logₐ M | M > 0 |
| Переход к новому основанию | logₐ b = (log_c b) / (log_c a) | c > 0, c ≠ 1 |
| Частный случай перехода | logₐ b = 1 / (log_b a) | b > 0, b ≠ 1 |
| Степень в основании | log_(aⁿ) M = (1/n) * logₐ M | aⁿ > 0, aⁿ ≠ 1 |
| Частные значения | logₐ 1 = 0, logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 |
8 примеров на свойства логарифмов с решениями
1. Свойство: логарифм произведения:
logₐ(bc) = logₐb + logₐc.
Пример: log₂4 + log₂8.
log₂4 + log₂8 = log₂(4×8) = log₂32 = 5.
Ответ: 5.
2. Свойство: логарифм частного:
logₐ(b/c) = logₐb – logₐc.
Пример: log₃54 – log₃2.
log₃54 – log₃2 = log₃(54/2) = log₃27 = 3.
Ответ: 3.
3. Свойство: логарифм степени:
logₐbⁿ = n·logₐb.
Пример: log₂4³.
log₂4³ = 3·log₂4 = 3·2 = 6.
Ответ: 6.
4. Свойство: логарифм единицы:
logₐ1 = 0.
Пример: log₇1 + lg1 + ln1.
log₇1 + lg1 + ln1 = 0 + 0 + 0 = 0.
Ответ: 0.
5. Свойство: логарифм основания:
logₐa = 1.
Пример: log₅5 + lg10 + lne.
log₅5 + lg10 + lne = 1 + 1 + 1 = 3.
Ответ: 3.
6. Свойство: основное логарифмическое тождество:
a^(logₐb) = b.
Пример: 5^(log₅3) + 10^(lg7).
5^(log₅3) + 10^(lg7) = 3 + 7 = 10.
Ответ: 10.
7. Свойство: переход к новому основанию:
logₐb = 1/(log_ba).
Пример: log₂8 + log₈2.
log₂8 + log₈2 = 3 + 1/3 = 3⅓.
Ответ: 3⅓.
8. Комбинированный пример.
Пример: 2·log₅5 + 3·log₂8 – log₃27.
2·1 + 3·3 – 3 = 2 + 9 – 3 = 8.
Ответ: 8.
Натуральный и десятичный логарифмы
В математике, помимо логарифмов с произвольным основанием, особую роль играют два основания: число e (иррациональная константа, ≈ 2.71828) и число 10. Они имеют специальные обозначения.
| Название | Обозначение | Основание | Развёрнутая запись |
|---|---|---|---|
| Натуральный логарифм | ln b | e (число Эйлера) | ln b= log_e b |
| Десятичный логарифм | lg b | 10 | lg b = log_10 b |
Свойства для ln и lg абсолютно аналогичны свойствам обычного логарифма:
ln(b * c) = ln b + ln c,
ln(b / c) = ln b – ln c,
ln(bᶜ) = c * ln b,
ln 1 = 0,
ln e = 1,
lg 1 = 0,
lg 10 = 1.
Пример (Задание 13 ЕГЭ, профиль):
Реши уравнение lg(x – 1) + lg(x – 2) = lg(2x – 4).
1. ОДЗ:
x – 1 > 0 → x > 1.
x – 2 > 0 → x > 2.
2x – 4 > 0 → x > 2.
Итог: x > 2.
2. Решаем уравнение. Применяем свойство логарифма произведения слева:
lg((x – 1)(x – 2)) = lg(2x – 4).
3. Поскольку основания логарифмов одинаковы (10) и ОДЗ мы учли, можно приравнять аргументы:
(x – 1)(x – 2) = 2x – 4;
x² – 3x + 2 = 2x – 4;
x² – 5x + 6 = 0;
x₁ = 2, x₂ = 3.
4. Проверяем ОДЗ (x > 2):
x = 2 — не подходит (при x=2 аргумент lg(x–2) не определен).
x = 3 — подходит.
Ответ: 3.
Пример 2 (Задание 13, ЕГЭ профиль):
Уравнение с заменой переменной:
(lg x – 3) / (lg x – 1) = 2 + (2 / (lg x – 1)).
1. ОДЗ:
x > 0 (аргумент логарифма).
lg x – 1 ≠ 0 (знаменатель дроби) → lg x ≠ 1 → x ≠ 10.
Итог: x > 0, x ≠ 10.
2. Введём замену: t = lg x. Уравнение примет вид:
(t – 3) / (t – 1) = 2 + (2 / (t – 1)).
3. Перенесём все в одну сторону и приведем к общему знаменателю (t – 1):
(t – 3)/(t – 1) – 2 – 2/(t – 1) = 0;
(t – 3 – 2(t – 1) – 2) / (t – 1) = 0;
(t – 3 – 2t + 2 – 2) / (t – 1) = 0;
(–t – 3) / (t – 1) = 0.
4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет.
–t – 3 = 0 → t = –3.
Проверяем знаменатель: при t = –3, t – 1 = –4 ≠ 0.
5. Обратная замена: lg x = –3 → x = 10⁻³ = 0,001.
6. Проверяем ОДЗ: 0.001 > 0 и 0.001 ≠ 10. Корень подходит.
Ответ: 0,001.
Итог: алгоритм работы с логарифмами на ЕГЭ
- Увидел логарифм — проверь ОДЗ. Даже если в задании не просят, выпиши её для себя. Помни про основания и аргументы.
- Вспомни частные случаи: logₐ a = 1 и logₐ 1 = 0 — твои лучшие друзья для упрощения.
- Определи тип логарифма. Если видишь ln или lg, не пугайся — это те же логарифмы, просто с удобными основаниями e и 10.
- Подбери свойства для преобразований: сумма, разность, степень, замена основания. Часто помогает замена переменной.
- Проводи преобразования, не забывая об ограничениях ОДЗ.
- Для уравнений/неравенств: найденные корни обязательно проверь на соответствие ОДЗ.
Теперь, имея знания частных случаев и специальных логарифмов, ты сможешь решать задачи любой сложности. Практикуйся, и логарифмы станут твоим надёжным инструментом для получения высоких баллов на ЕГЭ.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
