Введение
В этой статье разберём формулы двойного угла — одну из ключевых тем тригонометрии. Они часто встречаются в заданиях профильного ЕГЭ по математике:
- № 6 — простейшие тригонометрические уравнения: здесь формулы двойного угла помогают свести выражение к базовому виду;
- № 7 — преобразования тригонометрических выражений: упрощение дробей, вычисление значений;
- № 13 — более сложные тригонометрические уравнения, где эти формулы используются для понижения степени или разложения на множители.
Формулы двойного угла позволяют выразить тригонометрические функции от аргумента $2\alpha$ через функции от $\alpha$. Они особенно полезны, когда в выражениях или уравнениях встречаются удвоенные углы. Далее рассмотрим основные формулы, разберём их происхождение и обсудим приёмы, которые помогут легко их запомнить и правильно применять.
Суть и основные формулы
Формулы двойного угла выражают $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ и $\operatorname{tg} 2\alpha$ через $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$.
Ключевые формулы:
- Синус двойного угла:
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.- Косинус двойного угла (три формы записи):
$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha − \sin^2 \alpha$;
$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha − 1$;
$\cos 2\alpha = 1 − 2 \sin^2 \alpha$.- Тангенс двойного угла:
$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 − \operatorname{tg}^2 \alpha}$, при $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.- Котангенс двойного угла:
$\operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha − 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}$, при $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.
Эти формулы выводятся из формул сложения $(\sin(\alpha + \beta), \cos(\alpha + \beta), \operatorname{tg}(\alpha + \beta))$ при $\beta = \alpha$.
Закономерности и советы для запоминания
Синус двойного угла.
Два синуса на косинус — $2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$. Произноси как скороговорку: «два синуса косинуса».Косинус двойного угла.
Основная форма: $\cos^2 \alpha − \sin^2 \alpha$ (разность квадратов).
Две другие формы получаются заменой:- $\cos^2 \alpha = 1 − \sin^2 \alpha \to \cos 2\alpha = 1 − 2 \sin^2 \alpha$.
- $\sin^2 \alpha = 1 − \cos^2 \alpha \to \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha − 1$.
Как выбрать нужную форму $\cos 2\alpha$:
- Если в выражении есть $\sin \alpha$, используй $\cos 2\alpha = 1 − 2 \sin^2 \alpha$.
- Если есть $\cos \alpha$, используй $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha − 1$.
- Если нужно разложить на множители, используй $\cos^2 \alpha − \sin^2 \alpha = (\cos \alpha − \sin \alpha) \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)$.
Тангенс двойного угла.
Формула: $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 − \operatorname{tg}^2 \alpha}$.
Мнемоническое правило: «два тангенса делить на один минус квадрат тангенса».
Дополнительные полезные формулы
Формулы двойного угла тесно связаны с формулами понижения степени. Они позволяют избавиться от квадратов тригонометрических функций:
- $\sin^2 \alpha = \frac{1 − \cos 2\alpha}{2}$.
- $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
- $\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1 − \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$.
Эти формулы получаются из формул косинуса двойного угла. Они очень полезны в задании № 13, когда нужно понизить степень уравнения.
Примеры заданий
Короткие примеры для отработки формул
Считаем, что угол находится в первой четверти.
$\sin 2\alpha$, если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$:
$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} = 0,96$.$\cos 2\alpha$, если $\cos \alpha = 0,6$:
$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha − 1 = 2 \cdot 0,36 − 1 = 0,72 − 1 = −0,28$.$\cos 2\alpha$, если $\sin \alpha = 0,8$:
$\cos 2\alpha = 1 − 2 \sin^2 \alpha = 1 − 2 \cdot 0,64 = 1 − 1,28 = −0,28$.$\operatorname{tg} 2\alpha$, если $\operatorname{tg} \alpha = 2$:
$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot 2}{1 − 4} = \frac{4}{−3} = −\frac{4}{3}$.
Задание № 1 — простейшее тригонометрическое уравнение
Условие: реши уравнение $\sin 2x = \cos x$.
- Применяем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
- Уравнение принимает вид: $2 \sin x \cos x = \cos x$.
- Переносим всё в одну часть: $2 \sin x \cos x − \cos x = 0$.
- Выносим $\cos x$ за скобки: $\cos x (2 \sin x − 1) = 0$.
- Произведение равно нулю, значит:
$\cos x = 0$ или $2\sin x − 1 = 0$. - Решаем каждое уравнение:
$\cos x = 0 \to x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.
$\sin x = \frac{1}{2} \to x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, n, k \in Z$.
Задание № 2
Условие: реши уравнение $\cos 2x = 1 − \sin x$.
- Применяем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 − 2 \sin^2 x$.
- Уравнение принимает вид: $1 − 2 \sin^2 x = 1 − \sin x$.
- Вычитаем 1 из обеих частей: $−2 \sin^2 x = − \sin x$.
- Умножаем на $−1$: $2 \sin^2 x = \sin x$.
- Переносим всё в одну часть: $2 \sin^2 x − \sin x = 0$.
- Выносим $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \sin x − 1) = 0$.
- Решаем:
$\sin x = 0 \to x = \pi n, n \in Z$.
$\sin x = \frac{1}{2} \to x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, n, k \in Z$.
Задание № 3 — преобразования тригонометрических выражений
Условие: найди значение выражения $6 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$.
- Замечаем, что $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin 30^\circ$.
- Значит, $6 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = 3 \cdot (2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ) = 3 \cdot \sin 30^\circ$.
- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
- Вычисляем: $3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.
Задание № 4
Условие: найди значение выражения $\frac{21(\sin^2 66^\circ − \cos^2 66^\circ)}{\cos 132^\circ}$.
- Замечаем, что $\sin^2 66^\circ − \cos^2 66^\circ = −(\cos^2 66^\circ − \sin^2 66^\circ)$.
- По формуле косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha − \sin^2 \alpha$.
При $\alpha = 66^\circ$ получаем: $\cos 132^\circ = \cos^2 66^\circ − \sin^2 66^\circ$. - Тогда $\sin^2 66^\circ − \cos^2 66^\circ = −\cos 132^\circ$.
- Подставляем в числитель: $21 \cdot (−\cos 132^\circ) = −21 \cos 132^\circ$.
- Исходное выражение принимает вид:
$\frac{−21 \cos 132^\circ}{\cos 132^\circ} = −21$ (при $\cos 132^\circ \neq 0$).
Ответ: −21.
Задание № 5 — тригонометрическое уравнение повышенной сложности
Здесь формулы двойного угла применяются для понижения степени, разложения на множители или сведения к квадратному уравнению.
Условие: реши уравнение $\sin 2x + \cos 2x = 1$. Найди корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].
Применяем формулы двойного угла:
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
$\cos 2x = 2 \cos^2 x − 1$.Уравнение принимает вид:
$2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x − 1 = 1$.Переносим: $2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x − 2 = 0$.
Делим на 2: $\sin x \cos x + \cos^2 x − 1 = 0$.
Заменяем $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:
$\sin x \cos x + \cos^2 x − (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$;
$\sin x \cos x + \cos^2 x − \sin^2 x − \cos^2 x = 0$;
$\sin x \cos x − \sin^2 x = 0$.Выносим $\sin x$ за скобки: $\sin x (\cos x − \sin x) = 0$.
Решаем:
$\sin x = 0 \to x = \pi n, n \in Z$.
$\cos x − \sin x = 0 \to \cos x = \sin x \to \operatorname{tg} x = 1 \to x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.Отбираем корни на отрезке [0; 2π]:
- Из первой серии: $0, \pi, 2\pi$.
- Из второй серии: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
Все корни: $0, \frac{\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, 2\pi$.
Ответ: $0, \frac{\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, 2\pi$.
Типичные ошибки
Путают формулы косинуса двойного угла.
Как избежать: запомни три формы и выбирай ту, которая удобнее. Если сомневаешься, используй основную: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha − \sin^2 \alpha$.Забывают про вынесение общего множителя при решении уравнений.
Как избежать: после применения формул всегда переноси всё в одну часть и ищи общий множитель. Не сокращай на выражение, которое содержит переменную, — это может привести к потере корней.Неправильно применяют формулы понижения степени.
Как избежать: запомни — $\sin^2 \alpha = \frac{1 − \cos 2\alpha}{2}, \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. Проверяй себя подстановкой простых углов (например, $\alpha = 0$).Теряют корни при делении на $\cos x$ или $\sin x$.
Как избежать: никогда не дели обе части уравнения на выражение, которое содержит переменную, без предварительной проверки случаев, когда это выражение равно нулю. Лучше выноси за скобки.
Заключение
Теперь ты умеешь:
- применять формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла;
- выбирать нужную форму косинуса двойного угла в зависимости от условия;
- использовать формулы понижения степени для упрощения выражений и уравнений;
- решать тригонометрические уравнения, применяя формулы двойного угла и разложение на множители.
Благодаря этому навыку ты сможешь без труда решать задание № 6 — сводя уравнения к простейшим с помощью формул двойного угла; задание № 7 — вычисляя значения тригонометрических выражений и задание № 13 — преобразовывая уравнения повышенной сложности и находя корни на промежутке.
Формулы двойного угла — это мощный инструмент. Освоив их, ты заметно упростишь себе решение многих тригонометрических задач. Удачи на экзамене!
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
