Введение
Казалось бы, что может быть проще, чем найти среднюю скорость? Однако это задание регулярно становится проблемным. Разберёмся, почему стандартный подход «сложить и разделить» здесь не работает, а также узнаем, как справляться с такими задачами на экзаменах.
Фундаментальное правило: одна формула на все случаи
Запомни: средняя скорость движения никогда не равна среднему арифметическому значений скоростей.
Единственная верная формула:
$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{полный}}}{t_{\text{полное}}}$
где:
$ S_{\text{полный}} $ — совокупная длина пройденного маршрута,
$ t_{\text{полное}}$ — общая продолжительность перемещения.
Это равенство работает абсолютно для всех сценариев без исключений!
Первый тип: разные участки пути
Рассмотрим ситуацию:
Автобус преодолел первую треть дороги со скоростью 40 км/ч, а оставшиеся две трети — со скоростью 80 км/ч. Определи среднюю скорость.
Ошибочный путь: (40 + 80) / 2 = 60 км/ч
- Обозначим полное расстояние за 3L (для удобства вычислений).
- Первый участок занял L/ 40 часов.
- Второй участок занял 2L/ 80 = L/ 40 часов.
- Суммарное время: L/40 + L/40 = L/20 часов.
- Средняя скорость: 3L / (L/20) = 60 км/ч.
Вывод: в данном случае ответ совпал со средним арифметическим, но это чистая случайность! Если бы соотношения участков были другими, результат отличался бы.
Второй тип: временные интервалы
Решим задачу:
Велосипедист ехал 1 час со скоростью 10 км/ч, а затем 3 часа со скоростью 20 км/ч. Найди его среднюю скорость.
Ошибочное решение (по среднему арифметическому): (10 + 20) / 2 = 15 км/ч.
- Найдём путь на каждом участке:
Первый участок: S₁ = 10 км/ч * 1 ч = 10 км
Второй участок: S₂ = 20 км/ч * 3 ч = 60 км - Найдём общий путь:
S_общ = S₁ + S₂ = 10 + 60 = 70 км - Найдём общее время:
t_общ = 1 ч + 3 ч = 4 ч - Применим основную формулу:
v_ср = S_общ / t_общ = 70 км / 4 ч = 17.5 км/ч
Сравнение и вывод:
Правильный ответ — 17.5 км/ч. Ошибочное усреднение скоростей дало бы 15 км/ч. Разница в 2.5 км/ч существенна! Она возникает из-за того, что велосипедист большую часть времени (3 часа из 4) ехал с более высокой скоростью. Это сильно повлияло на общий результат. Чем больше разница во временных промежутках, тем заметнее будет расхождение между правильным ответом и средним арифметическим.
Третий тип: периоды без движения
Велосипедист ехал из пункта А в пункт B 2 часа со скоростью 12 км/ч, затем ровно 1 час отдыхал, а после этого продолжил путь до пункта C ещё 1 час со скоростью
10 км/ч. Найди среднюю скорость велосипедиста на всём маршруте A → C.
Ключевой момент — время отдыха включается в общее время движения.
- Найдём путь на первом участке:
S₁ = 12 км/ч × 2 ч = 24 км - Найдём путь на втором участке:
S₂ = 10 км/ч × 1 ч = 10 км - Найдём общий путь:
S_общ = S₁ + S₂ = 24 + 10 = 34 км - Найдём общее время:
t_общ = 2 ч + 1 ч + 1 ч = 4 ч - Найдём среднюю скорость по основной формуле:
v_ср = S_общ / t_общ = 34 км / 4 ч = 8.5 км/ч
Ответ: 8,5 км/ч
Разбор: если забыть включить время отдыха, то расчёт будет неверным: 34 / (2 + 1) ≈ 11.3 км/ч. Средняя скорость учитывает всё время от старта до финиша, включая периоды неподвижности.
Четвёртый тип: циклическое движение
Задача:
Спортсмен пробежал четыре одинаковых круга. Его скорость на каждом последующем круге была выше предыдущего на 2 км/ч. Первый круг он преодолел за 12 км/ч. Найди среднюю скорость.
- Примем длину круга за K.
- Запишем время для каждого круга:
K/12
K/14
K/16
K/18 - Полное расстояние: 4K.
- Совокупное время: K × (1/12 + 1/14 + 1/16 + 1/18).
- Средняя скорость: 4K ÷ [K × (1/12 + 1/14 + 1/16 + 1/18)] = 4 / (1/12 + 1/14 + 1/16 + 1/18).
Наблюдение: неизвестная K сократилась, что характерно для циклических задач.
Советы для успеха
- Всегда начинай с анализа: что дано — равные пути или равные временные промежутки?
- При отсутствии конкретных расстояний вводи условные единицы (1, L, S).
- Внимательно учитывай все временные интервалы, включая паузы.
- Контролируй единицы измерения (часы/минуты, км/м).
- Проверяй ответ на реалистичность.
Заключение
Решение задач на среднюю скорость достигается не через запоминание сложных формул, а через понимание фундаментального принципа: полный путь делим на полное время. Отработай этот навык на различных примерах, чтобы такие экзаменационные задания стали для тебя источником лёгких баллов.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
