Угол между прямой и плоскостью часто встречается в задании 14 ЕГЭ по профильной математике. В таких задачах нужно работать с объёмной фигурой, строить проекцию и обосновывать перпендикулярность, поэтому ошибки обычно появляются уже на чертеже. Разберём определения, способ решения и типичные ловушки, из-за которых теряются баллы. После статьи ты сможешь аккуратно находить искомый угол.
Теория по частям
Угол между пересекающимися прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость.
Из определения следуют два крайних случая. Если прямая параллельна плоскости, угол равен $0^{\circ}$. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^{\circ}$. Во всех остальных случаях искомый угол острый. Обычно его обозначают буквой $\varphi$, причём $0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}$.
Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, нужно взять точку на исходной прямой и опустить из неё перпендикуляр на плоскость.
Точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра. Отрезок, который соединяет точку пересечения исходной прямой с плоскостью и основание перпендикуляра, — это проекция.
На рисунке ниже прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$. Из точки $B$ прямой $a$ опущен перпендикуляр $BH$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH$ — проекция прямой $a$ на плоскость, а $\angle BAH$ — угол между прямой $a$ и плоскостью $\alpha$.
Как найти угол между прямой и плоскостью
Работай по алгоритму:
- Найди точку пересечения исходной прямой и заданной плоскости.
- Выбери на прямой удобную точку и опусти из неё перпендикуляр на плоскость. Обычно такой точкой удобно брать вершину многогранника.
- Соедини основание перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости. Получится проекция.
- Отметь угол прямоугольного треугольника между прямой и её проекцией.
- Вычисли величину угла через синус, косинус или тангенс.
Разбор задач формата ЕГЭ
Рассмотрим решение задания 14 из ЕГЭ.
Пример
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны основания равны $2$, боковые рёбра равны $3$. Найдите угол между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCC_1$.
Решение
Шаг 1. Прямая $AC_1$ пересекает плоскость $BCC_1$ в точке $C_1$. Эта точка будет вершиной искомого угла.
Шаг 2. Нужно опустить перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $BCC_1$. В равностороннем треугольнике основания $ABC$ проведём высоту $AK$ к стороне $BC$. Точка $K$ делит $BC$ пополам.
Шаг 3. Докажем перпендикулярность. Так как призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, значит, оно перпендикулярно и прямой $AK$.
При этом $AK \perp BC$, так как $AK$ — высота равностороннего треугольника $ABC$.
Получается, прямая $AK$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $BCC_1$: прямым $BC$ и $CC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AK \perp (BCC_1)$.
Шаг 4. Отрезок $KC_1$ — проекция прямой $AC_1$ на плоскость $BCC_1$. Искомый угол находится в прямоугольном треугольнике $AKC_1$ с прямым углом при вершине $K$:
$\varphi = \angle AC_1K$.
Шаг 5. Найдём стороны треугольника.
Высота равностороннего треугольника со стороной $2$ равна:
$AK = \sqrt{3}$.
$AC_1$ найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника $ACC_1$:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Шаг 6. Теперь вычислим синус искомого угла:
$\sin \angle AC_1K = \dfrac{AK}{AC_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \dfrac{\sqrt{39}}{13}$.
$\angle AC_1K = \arcsin \dfrac{\sqrt{39}}{13}$.
Ответ: $\arcsin \dfrac{\sqrt{39}}{13}$.
Типичные ошибки и ловушки экзамена
В этих задачах ученики чаще всего допускают следующие ошибки:
- Опора на глазомер. Нельзя проводить линию наугад и писать в решении, что отрезок является перпендикуляром. Нужно строго доказывать, что отрезок перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости. Это важно для полного решения.
- Путаница тригонометрических функций. Если известны две стороны построенного прямоугольного треугольника, содержащего искомый угол, важно верно определить, какую тригонометрическую функцию по ним можно найти: синус, косинус или тангенс.
- Тупые углы в ответе. Угол между прямой и плоскостью не может превышать $90^{\circ}$. Если при решении у тебя получился тупой угол, значит, в вычислениях допущена ошибка — нужно перепроверить шаги.
Задания для самопроверки
Попробуй ответить на эти вопросы.
Задание № 1
Где находится искомый угол в треугольнике, образованном прямой, перпендикуляром и проекцией?
Ответ: между исходной прямой и проекцией.
Задание № 2
Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен $\dfrac{2\pi}{3}$?
По определению угол между прямой и плоскостью находится в пределах от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$. Получить значение $120^{\circ}$ невозможно.
Ответ: нет, не может.
Задание № 3
Прямая $CH = 18$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$ со стороной $3\sqrt 2$. Найдите угол между прямой $AH$ и плоскостью квадрата.
1. Построим рисунок.
Рисунок к заданию 3
2. $AC$ — проекция прямой $AH$ на плоскость квадрата. Значит, $\angle HAC$ — искомый угол.
3. Найдём $AC$ как диагональ квадрата $ABCD$:
$AC = 3\sqrt 2 \cdot \sqrt{2} = 6$.
4. Найдём искомый угол из прямоугольного треугольника $ACH$:
$tg \angle HAC = \dfrac{CH}{AC} = \dfrac{18}{6} = 3$;
$\angle HAC = arctg \, 3$.
Ответ: $arctg \, 3$.
Итоги
Теперь ты умеешь находить угол между прямой и плоскостью. Ты знаешь, как правильно строить проекцию, доказывать перпендикулярность и вычислять искомый угол через прямоугольный треугольник. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на стереометрию в «100балльном банке».
