Введение
Окружность часто встречается в задачах по геометрии. Про неё есть множество интересных фактов, которые не изучаются в классическом школьном курсе. Особое удовольствие — решать задачи, где она совершила коллаборацию с другими геометрическими объектами, например, когда вписалась внутрь многоугольника.
Назовём окружность вписанной в неразвёрнутый угол, если она касается всех его сторон.
Вписанная в треугольник окружность
Начнём с минимального количества углов и рассмотрим треугольник. С ним всё просто:
в любой треугольник всегда можно вписать окружность.
Почему так? Потому что у него есть замечательная точка
— точка пересечения биссектрис внутренних углов.
По определению она будет одинаково удалена от всех сторон треугольника, то есть можно провести перпендикуляры-радиусы как раз в точки касания.
Вот так это выглядит:
Помни, что:
- в треугольник можно вписать только одну окружность;
- её центр всегда лежит внутри треугольника;
- отрезки касательных от вершины до точки касания равны (работает теорема об отрезках касательных).
Теперь немного о том, какие формулы можно использовать в подобных случаях:
- Формула для вычисления площади треугольника: S = pr,
где p — полупериметр (P/2), r — радиус вписанной окружности. Запомни: если окружность маленькая, то маленькие буковки перемножаются.
- Для равностороннего треугольника формула выводится легко, но можно просто запомнить и использовать факт: $ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} $ , где a — сторона треугольника, r — радиус вписанной окружности.
- Для прямоугольного треугольника работает формула $ r = \frac{a + b − c}{2} $ , где a, b — катеты и c — гипотенуза.
Рассмотрим примеры задач, которые могут тебе встретиться в задании № 1 профильной математики ЕГЭ по данной теме.
Решение: воспользуемся формулой и перемножим «маленькие буквы»:
$ p = \frac{P}{2} = 51 $,
$ S = 51 \cdot 2 = 102 $.
Ответ: 102.
Решение: задача легко решается по формуле $ r = \frac{a + b − c}{2} $. Но для неё не хватает одной стороны, которая вычисляется с помощью теоремы Пифагора.
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $, откуда AB = 85.
$ r = \frac{77 + 36 − 85}{2} = 14 $.
Ответ: 14.
Вписанная в четырёхугольник окружность
С четырёхугольником всё гораздо интереснее, ведь, например, в прямоугольник её вписать не получится, а в квадрат — легко!
Запомни:
в четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных его сторон равны.
И, конечно, наоборот:
в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Важно: не путай эти факты с признаками описанной окружности! Можно выстроить логическую цепочку, которая поможет не перепутать правила: окружность касается сторон → стороны = касательные → теорема связана со сторонами четырёхугольника.
Свойства:
1. Центр вписанной в четырёхугольник окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
2. Если она вписана в параллелограмм, то он — ромб, и центр находится в точке пересечения диагоналей.
3. Знакомая формула для вычисления площади адаптируется для четырёхугольника: S = pr, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Решение:
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты. Чтобы вычислить длину высоты, рассмотрим треугольник ABH: в нём острые углы по 45 градусов, значит, он равнобедренный. Далее можно воспользоваться теоремой Пифагора, тригонометрическим соотношением или вспомнить, что гипотенуза будет как диагональ квадрата больше стороны в $ \sqrt{2} $ раз. Тогда высота равна 52. А радиус 26.
Ответ: 26.
Решение:
Средняя линия трапеции вычисляется по формуле
$ x = \frac{a + b}{2} $,
где a, b — основания трапеции. Мы уже знаем, что
если окружность вписана в четырёхугольник, то выполняется равенство
a + b = c + d. P = a + b + c + d = 2 (a + b) = 300.
Значит,
$ x = \frac{a + b}{2} = \frac{150}{2} = 75 $.
Ответ: 75.
Вписанная в правильный многоугольник окружность
Если продолжать увеличивать количество сторон, то интерес для нас представляют правильные многоугольники, то есть те, у которых все стороны равны (и углы тоже).
Интересный факт: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём только одну. Более того, она будет касаться всех сторон ровно в середине, а центр будет совпадать с центром многоугольника — точкой пересечения его диагоналей. Главное — использовать свойства правильных фигур, в большинстве случаев именно в них спрятан ключ к решению задачи.
Решение: для правильного треугольника радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле
$ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{43\sqrt{3}\sqrt{3}}{6} = 21,5 $.
А можно провести высоту, которая будет ещё и медианой, а далее с помощью тригонометрии или теоремы Пифагора вычислить длину высоты и использовать свойство медианы (о делении в отношении 2:1). Есть решение на любой вкус!
Ответ: 21,5.
Решение:
Правильный треугольник обладает свойством, при котором биссектриса, высота и медиана совпадают, а радиус окружности лежит как раз на этом отрезке. У медианы есть свойство точкой пересечения делиться в отношении 2:1 от вершины, значит, весь отрезок составляет три части, а радиус будет составлять одну из них
$ r = 138 : 3 = 46 $.
Ответ: 46.
Для решения задач, которые встречаются в первой части экзамена, этих данных более чем достаточно. Есть ещё один факт — радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник выражается так:
$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $.
Но это можно вывести в ходе решения, причём достаточно красиво и легко. Смотри на примере:
Решение: диагонали делят наш шестиугольник на шесть правильных треугольников, при решении можно использовать любой из них.
Ответ: 280,5.
Заключение
При решении задач на ЕГЭ по математике помни, что:
- при построении рисунка лучше сначала начертить окружность, а потом вокруг неё многоугольник;
- нет, трапеция не должна быть обязательно равнобедренной, чтобы в неё можно было вписать окружность;
- правильный шестиугольник делится диагоналями на правильные треугольники, и с каждым из них можно и нужно работать как с отдельной фигурой;
- отмечай на рисунке максимально все равные элементы, иногда это помогает найти нужный путь к решению.
Автор:
Фролов Павел, методист “100балльного репетитора” по математике ЕГЭ
