Что такое функция?
Привет, одна из самых болезненных тем школьного курса алгебры!
Сегодня мы разберёмся раз и навсегда с тем, что такое график функции, как его строить, а также узнаем, что он может нам рассказать (спойлер: немало).
С понятием функции мы сталкиваемся и в повседневной жизни, например, у холодильника есть функции охлаждения и заморозки. Причём ему абсолютно неважно, с чем именно работать. Положим яблоко — получим охлаждённое яблоко. Положим воду в морозилку — получим замороженную воду (лёд).
Так и в математике: у любой функции есть x — независимая переменная (аргумент), то есть то, что мы сами выбираем и «помещаем» внутрь неё. А на выходе получаем обработанный результат — y зависимую от аргумента переменную. Поэтому часто можно встретить запись y(x) или f(x) — буквально «функция от x». И вместо этого самого x мы можем помещать всё что душе угодно.
Если говорить строго: функция — правило, которое каждому элементу одного множества (области определения) ставит в соответствие единственный элемент другого множества (область значений). Одному значению x соответствует одно значение y.
Задаваться функция может аналитически (уравнением), таблично или графически. Да-да, у каждой функции есть свой красивый уникальный график, который позволяет наглядно увидеть, как она устроена, и провести целое исследование.
График функции
В школьном курсе ты близко познакомился с графиками элементарных функций: прямой, параболы, гиперболы, экспоненты и др.
Скорее всего, на любом из этапов изучения в твоей голове промелькнул вопрос о том, может ли быть что-то ещё. Да, очень даже может!
Пример: по определению вполне график функции. И нам даже не нужно знать, каким уравнением она задана, так как важную информацию можно считать и без него.
Возрастание и убывание функции
Самолёт идёт на взлёт! Если представить, что график функции — это траектория полёта самолёта, то легко запомнить: взлёт — она возрастает, а посадка — убывает.
По определению это звучит следующим образом: если большему «икс» соответствует большее значение «игрек», то функция возрастает. А если большему «икс» соответствует меньшее значение «игрек» — убывает.
Важно запомнить, что её возрастание и убывание определяется на всей области или на конкретном заданном промежутке, то есть с помощью значений «иксов».
Экстремумы
А что же происходит в точках, где наблюдается перегиб графика, например, в вершине параболы? Ведь в этой точке функция не возрастает и не убывает.
Такие точки называют экстремумами функции — это точки, где она достигает своих локальных максимумов или минимумов, образуя «вершины» или «ямы» на графике. Если рассматривать их по оси абсцисс («иксам»), то в них функция достигает своих наибольших или наименьших значений на заданном интервале: соответствующие значения по оси ординат («игреки»). Полученные значения «игрек» называют максимальными или минимальными значениями функции.
Пример 1. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на промежутке (–4.5; 3.5). Найти сумму точек экстремума функции f(x).
Точки экстремума функции — это координаты по оси x, в которых график «перегибается» или меняет направление, то есть соответствующие «ямы» и «вершины» на нашем участке. Выполним подсчёт суммы этих координат:
–4, –3, –1, 1, 3.
–4 + (–3) + (–1) + 1 + 3 = –4.
Ответ: –4.
Связь графика функции и производной
Если функция возрастает, то производная будет положительна на всём участке возрастания. Если убывает, то производная будет отрицательна на всём участке убывания. В тех особых точках, где функция достигает вершины или опускается в «ямку» (в экстремумах), значение производной равно нулю. Именно в этих точках скорость изменения временно останавливается, и график функции меняет направление.
Пример 2. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−6; 8). Найти количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Перед нами изображён график функции. Вспоминаем, как он связан с производной: на промежутке, где функция возрастает, её производная положительна. Обозначим соответствующие участки на графике:
В этих интервалах содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6. Всего их 4.
Ответ: 4
Пример 3. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Перед нами график функции. Вспоминаем связь с производной: она равна нулю в перегибах графика. Таких «вершин» и «ям» всего 6.
Ответ: 6.
Пример 4. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найти количество точек минимума функции f(x), принадлежащих интервалу (–2.5; 3.5).
Перед нами график функции. Вспоминаем, что точка минимума достигается в точках перегиба функции при смене убывания на возрастание. Это происходит в точках -2, 1, 3. Итого: 3 точки.
Ответ: 3.
Заключение
Таким образом, твоя главная задача двигаться по алгоритму:
- Определить, что перед тобой: график производной или функции.
- Нарисовать для себя схему связи функции и производной.
- Выполнить задание.
Всё! Твой балл за задание №8 по профильной математике уже в кармане.
Автор:
Фролов Павел, методист “100балльного репетитора” по математике ЕГЭ
