Введение
Тема «Степени и корни» — одна из фундаментальных в школьном курсе математики. Она встречается в заданиях и ОГЭ, и ЕГЭ (как в первой, так и во второй части). Понимание свойств степеней и корней — залог успеха на экзамене. Давай систематизируем знания.
Определения и основные понятия
Степень с натуральным показателем:
aⁿ = a * a * a * … * a (n раз),
где a — основание степени,
n — показатель степени.
Степень с целым показателем:
a⁰ = 1 (для a ≠ 0),
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (для a ≠ 0).
Примеры:
$ 5³ = 5 * 5 * 5 = 125; $
$ 7⁰ = 1; $
$ 2⁻³ = 1 / 2³ = ⅛. $
Арифметический квадратный корень:
Такое неотрицательное число, квадрат которого равен a:
√a = b, где b² = a и b ≥ 0, a ≥ 0.
Важно!
Выражение √a имеет смысл только при a ≥ 0. Результат всегда ≥ 0.
Пример:
$ \sqrt{16} = 4, $ так как $ 4² = 16 $ и $ 4 > 0. $
$ \sqrt{-9} $ — не существует в области действительных чисел.
Степень с рациональным показателем:
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), где a > 0,
n — натуральное число,
m — целое число.
Пример:
$ 8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 $
Ключевые свойства степеней и корней
Именно эти свойства помогут тебе справиться с упрощением выражений и решением уравнений. Их нужно знать наизусть и уметь применять.
Для степеней (при a > 0, b > 0):
- aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
- (aᵐ)ⁿ = aᵐ*ⁿ.
- (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ.
- (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
Для корней (при a ≥ 0, b ≥ 0, b ≠ 0 для деления):
- √(a * b) = √a * √b.
- √(a / b) = √a / √b.
- (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ).
- ⁿ√(ᵐ√a) = ᵐⁿ√a.
Важное замечание:
Свойства корней часто используют, чтобы вынести множитель из-под знака корня или, наоборот, внести его туда.
Пример (вынесение множителя):
$ \sqrt{75} = \sqrt{25 * 3} = \sqrt{25} * \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}. $
Пример (внесение множителя):
$ 3 \sqrt{2} = \sqrt{9 * 2} = \sqrt{18}. $
Типичные задания на экзаменах (№ 7 ЕГЭ и № 8 и 20 ОГЭ)
Задание 1. Упрощение с дробными степенями
Условие: Упростите выражение (a^(1/4) * a^(1/12)) / (a^(1/3)) при a > 0.
Используем свойства степеней:
- В числителе: a^(1/4 + 1/12) = a^(3/12 + 1/12) = a^(4/12) = a^(1/3).
- Теперь делим: a^(1/3) / a^(1/3) = a^(1/3 – 1/3) = a⁰ = 1.
Ответ: 1.
Задание 2. Внесение/вынесение множителя
Условие: Вынесите множитель из-под знака корня: √(32a⁴), где a ≥ 0.
- Разложим подкоренное выражение: 32a⁴ = 16 * 2 * a⁴.
- √(16 * 2 * a⁴) = √16 * √2 * √(a⁴) = 4 * √2 * a².
Ответ: 4a²√2.
Задание 3. Расположить в порядке возрастания
Условие: Расположите в порядке возрастания: 3√2; 2√5; 6.
Внесём числа под знак корня, чтобы сравнить подкоренные выражения.
- 3√2 = √(9*2) = √18.
- 2√5 = √(4*5) = √20.
- 6 = √36.
Теперь сравниваем: √18 < √20 < √36.
Следовательно, 3√2 < 2√5 < 6.
Ответ: 3√2; 2√5; 6.
Задание 4. Упростить выражение со степенями
Условие: Упростите выражение (4a⁵)² * (3a³)⁻¹.
- Возводим каждый множитель в степень: (4a⁵)² = 4² * (a⁵)² = 16 * a¹⁰.
- Представляем второй множитель как дробь: (3a³)⁻¹ = 1 / (3a³).
- Перемножаем: 16a¹⁰ * (1 / (3a³)) = 16a¹⁰ / (3a³).
- Применяем свойство деления степеней: 16 / 3 * a¹⁰⁻³ = (16a⁷)/3.
Ответ: (16a⁷)/3.
Задание 5: Сравнить числа
Условие: Сравните числа √17 + √10 и 5 + √7.
Чтобы сравнить два положительных выражения, можно сравнить их квадраты (так как функция y = x² возрастает при x > 0).
1. Возведём первое выражение в квадрат:
(√17 + √10)² = (√17)² + 2*√17*√10 + (√10)² = 17 + 2√170 + 10 = 27 + 2√170.
2. Возведём второе выражение в квадрат:
(5 + √7)² = 25 + 2*5*√7 + (√7)² = 25 + 10√7 + 7 = 32 + 10√7.
3. Теперь нужно сравнить 27 + 2√170 и 32 + 10√7.
Вычтем 27 из левой и правой частей:
2√170 и 5 + 10√7.
Оценим значения корней:
√170 ≈ 13.04, значит 2√170 ≈ 26.08.
√7 ≈ 2.65, значит 10√7 ≈ 26.5, а 5 + 10√7 ≈ 31.5.
Видно, что 26.08 < 31.5. Следовательно, 27 + 2√170 < 32 + 10√7.
4. Значит, и исходные выражения относятся так же: √17 + √10 < 5 + √7.
Ответ: √17 + √10 < 5 + √7.
Задание 6 (ЕГЭ, профильный уровень, №7): Решить иррациональное уравнение
Условие: Решите уравнение √(3x – 5) = x – 3.
Стандартный алгоритм решения таких уравнений — возведение в квадрат с последующей проверкой корней, так как возможно появление посторонних корней.
1. Проверим ОДЗ (Область Допустимых Значений): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
3x – 5 ≥ 0 => x ≥ 5/3.
2. Возведём в квадрат:
(√(3x – 5))² = (x – 3)²;
3x – 5 = x² – 6x + 9.
3. Приведём к квадратному уравнению:
x² – 6x + 9 – 3x + 5 = 0;
x² – 9x + 14 = 0.
4. Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант D = 81 – 56 = 25.
Корни: x₁ = (9 + 5)/2 = 7, x₂ = (9 – 5)/2 = 2.
5. Проверка корней:
Проверяем x = 7:
Левая часть (ЛЧ): √(3*7 – 5) = √16 = 4.
Правая часть (ПЧ): 7 – 3 = 4.
4 = 4 — верно. Корень подходит.
Проверяем x = 2:
ЛЧ: √(3*2 – 5) = √1 = 1.
ПЧ: 2 – 3 = -1.
1 ≠ -1 — неверно.
Этот корень не подходит (не удовлетворяет исходному уравнению, хотя входит в ОДЗ).
Ответ: 7.
Частые ошибки и на что обратить внимание
- Корень из квадрата:
√(a²) = |a|, а не просто a. Например, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|. - Сложение корней:
√a + √b ≠ √(a + b). Нельзя просто складывать числа под корнем! - Отрицательное основание в рациональной степени:
Выражение (-8)^(1/3) не равно ⁴√(-8)². Будь осторожен со степенями, где основание отрицательно. В школьной программе обычно предполагается, что основание степени с рациональным показателем неотрицательно. - Потеря корней и посторонние корни:
Всегда проверяй корни в иррациональных уравнениях и следи за ОДЗ в уравнениях с дробями.
Уверенное владение свойствами степеней и корней — это твой ключ к успешному решению целого ряда задач на экзамене. Регулярно тренируйся на заданиях из открытого банка ФИПИ, и эта тема станет твоим преимуществом!
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
