Что такое десятичные дроби?
Это числа, в которых целая и дробная части разделены запятой. Например: 3,75. Здесь 3 — целая часть, а 75 — дробная.
Они встречаются повсюду: в деньгах (2,50 рубля), в измерениях (1,75 метра), в рецептах (0,5 литра молока). Чтобы уверенно решать задачи, нужно научиться выполнять с ними четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
Как складывать дроби?
Запиши их друг под другом, выравнивая по запятой. Если у одной из дробей меньше десятичных знаков — допиши нули.
Складывай столбиком, как обычные числа. В ответе поставь запятую под запятыми.
Пример:
$\begin{array}{r} 2{,}40 \\ +\ 1{,}35 \\ \hline 3{,}75 \end{array}$
Подсказка: запятая в ответе должна быть строго на том же месте, что и в примере.
Как вычитать дроби?
Расположи их друг под другом, выравнивая по запятой.
Вычти числа без её учёта. В ответе поставь запятую под запятыми.
Пример:
$\begin{array}{r@{}r} & 5{,}00 \\ − & 2{,}75\\ \hline & 2{,}25 \end{array}$
Как умножать дроби?
Перемножь данные числа, игнорируя наличие десятичной запятой. Затем определи общее количество цифр, расположенных после неё, в обоих исходных числах. Перенеси запятую влево на количество позиций, равное найденному суммарному числу знаков после неё.
Пример:
1,2 × 3,4 = 12 × 34 = 408 → учитываем два знака после запятой → 4,08
Совет: если одно из чисел — целое (например, 2 × 0,5), просто умножай и ставь запятую: 2 × 0,5 = 1,0
Умножение на 10, 100, 1000…
Это один из самых простых и полезных приёмов в математике. Он часто встречается в задачах ОГЭ и ЕГЭ.
Главное правило: при умножении на 10, 100, 1000 и т. д. запятая в числе сдвигается вправо на столько знаков, сколько нулей в множителе.
| Множитель | Сдвиг запятой | Пример | Ответ |
|---|---|---|---|
| 10 | 1 знак | 2,5 × 10 | 25 |
| 100 | 2 знака | 2,5 × 100 | 250 |
| 1000 | 3 знака | 2,5 × 1000 | 2500 |
Умножение на 0,1; 0,01; 0,001…
Иногда требуется умножить число на десятичную дробь, которая меньше целого числа: десятая (0,1), сотая (0,01), тысячная доля (0,001) и так далее.
Главное правило: если число умножается на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., запятая в числе сдвигается вправо на столько знаков, сколько нулей после неё.
| Множитель | Сдвиг запятой | Пример | Ответ |
|---|---|---|---|
| 0,1 | 1 знак | 25 × 0,1 | 2,5 |
| 0,01 | 2 знака | 25 × 0,01 | 0,25 |
| 0,001 | 3 знака | 25 × 0,001 | 0,025 |
| 0,0001 | 4 знака | 25 × 0,0001 | 0,0025 |
Как делить десятичные дроби?
Если делитель — натуральное число: делим как обычно, запятую ставим в ответе, когда переходим к дробной части.
Пример: 6,4 ÷ 2 = 3,2.
Если делитель — дробь: умножаем делимое и делитель на 10, 100 и т. д., чтобы делитель стал целым. Делим как обычно.
Пример: 4,2 ÷ 0,6 → умножаем оба числа на 10 → 42 ÷ 6 = 7.
Сопоставление десятичных дробей
Для проведения сравнения необходимо:
- Уравнять количество десятичных знаков после запятой, добавляя нули к дроби с меньшим их числом.
- Осуществить сравнение получившихся чисел как целых.
Примеры:
3,5 эквивалентно 3,50;
2,45 меньше, чем 2,5 (так как 2,45 < 2,50);
0,7 больше, чем 0,65 (потому что 0,70 > 0,65).
Преобразование обыкновенных дробей в десятичные и наоборот
Чтобы представить обыкновенную в виде десятичной, выполни деление числителя на знаменатель.
Примеры:
$\frac{1}{2} = 1 ÷ 2 = 0,5;$
$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0,75;$
$\frac{1}{3} = 1 ÷ 3 = 0,(3)$ — бесконечная десятичная дробь с повторяющимся периодом.
Иногда удобно представить десятичную в виде обыкновенной — особенно при решении задач на части, проценты или деление.
Убери запятую и запиши число в числитель. В знаменатель поставь 1 с нужным количеством нулей:
1 знак → знаменатель 10;
2 знака → знаменатель 100;
3 знака → знаменатель 1000.
Сократи, если можно.
Примеры:
| Десятичная | Обыкновенная | Сокращённая форма |
|---|---|---|
| $0,5$ | $\frac{5}{10}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $0,25$ | $\frac{25}{100}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $0,75$ | $\frac{75}{100}$ | $\frac{3}{4}$ |
| $0,2$ | $\frac{2}{10}$ | $\frac{1}{5}$ |
| $1,6$ | $\frac{16}{10}$ | $\frac{8}{5}$ |
| $2,75$ | $\frac{275}{100}$ | $\frac{11}{4}$ |
Некоторые десятичные дроби — бесконечные периодические.
Например:
$ 0,(3) = \frac{1}{3};$
$0,(6) = \frac{2}{3};$
$0,(142857) = \frac{1}{7}.$
Чтобы перевести их, используют специальные методы (например, уравнение с x), но на экзаменах чаще встречаются простые случаи.
Полезные советы
Если дробь заканчивается нулями, её легко сократить. Если она больше 1, сначала выдели целую часть:
$2,4 = 2 + 0,4 = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}.$
В задачах ОГЭ и ЕГЭ часто требуется перевести дробь и сравнить её с другой — умей быстро сокращать!
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
