Общая характеристика задания
Задание №9 на ЕГЭ по профильной математике направлено на проверку навыков преобразования и анализа алгебраических выражений, содержащих рациональные дроби. Особенность этих задач заключается в наличии практического контекста: физических законов, технических расчётов или экономических моделей. Успешное решение требует не только алгебраической грамотности, но и умения интерпретировать условия задачи.
Разбор типичных заданий
Задача 1. Расчёт электрических параметров цепи.
Постановка задачи
К источнику питания с напряжением 220 В подключается электроприбор. Для защиты сети используется предохранитель, рассчитанный на максимальный ток 2,5 А. Согласно закону Ома, сила тока вычисляется по формуле:
$I = \frac{U}{R}$
где I — сила тока (амперы), U — напряжение (вольты), R — сопротивление (омы). Требуется определить минимально допустимое сопротивление прибора, при котором сеть будет работать без отключения.
- Формулируем ограничение по току:
I ≤ 2,5. - Выражаем ток через параметры цепи:
$\frac{220}{R} \le 2,5$ - Решаем полученное неравенство:
$R \ge \frac{220}{2,5} = 88$
Ответ: 88 ом.
Задача 2. Определение фокусного расстояния в оптической системе.
Исходные данные
Для проецирования изображения используется собирающая линза. Связь между расстоянием до предмета (d₁), расстоянием до изображения (d₂) и фокусным расстоянием (f) описывается уравнением:
$\frac{1}{d₁} + \frac{1}{d₂} = \frac{1}{f}$
Известно, что f = 20 см, d₁ может находиться в интервале от 15 до 40 см, а d₂ — от 100 до 120 см. Необходимо найти минимальное значение d₁, обеспечивающее чёткое изображение.
- Преобразуем исходное соотношение:
$d_2 = \frac{1}{\frac{1}{f} − \frac{1}{d_1}}$ - Подставляем численное значение фокусного расстояния:
$d_2 = \frac{1}{\frac{1}{20} − \frac{1}{d_1}}$ - Анализируем ограничение на d₂:
100 ≤ d₂ ≤ 120. - Рассматриваем верхнюю границу диапазона:
$\frac{1}{\frac{1}{20} − \frac{1}{d_1}} = 120$ - Выполняем преобразования:
$\frac{1}{20} − \frac{1}{d_1} = \frac{1}{120}$
$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{20} − \frac{1}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
d₁ = 24. - Проверяем соответствие условию: при d₁ = 24 см получаем d₂ = 120 см.
Ответ: 24 см.
Задача 3. Анализ акустического эффекта Доплера.
Физическая модель
При взаимном движении источника и приёмника звука наблюдается изменение регистрируемой частоты. Для случая сближения вдоль прямой линии справедлива формула:
$f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c − v}$
где f₀ = 170 Гц — исходная частота, c — скорость звука в среде, u = 12 м/с — скорость приёмника, v = 6 м/с — скорость источника. Требуется установить максимальное значение c, при котором принимаемая частота не опускается ниже 180 Гц.
- Записываем условие задачи:
$170 \cdot \frac{c + 12}{c − 6} \ge 180$ - Упрощаем выражение:
$17 \cdot \frac{c + 12}{c − 6} \ge 18$ - Учитываем физический смысл параметров (c > 6) и умножаем на знаменатель:
17(c + 12) ≥ 18(c – 6). - Раскрываем скобки и приводим подобные:
17c + 204 ≥ 18c – 108,
312 ≥ c.
Ответ: 312 м/с.
Задача 4. Расчёт сопротивления в параллельной цепи.
Техническое условие
В электрическую сеть последовательно включены приборы суммарным сопротивлением 72 ома. Параллельно к ним планируется подключить нагревательный элемент. Для параллельного соединения справедлива формула:
$R_{общ} = \frac{R₁ \cdot R₂}{R_₁ + R_2}$
где R₁ = 72 Ом, R₂ — искомое сопротивление. Общее сопротивление системы должно составлять не менее 8 ом.
- Формулируем основное требование:
$\frac{72 \cdot R_₂}{72 + R_2} \ge 8$ - Освобождаемся от знаменателя:
72 × R₂ ≥ 8 × (72 + R₂). - Преобразуем алгебраическое выражение:
72R₂ ≥ 576 + 8R₂,
64R₂ ≥ 576,
R₂ ≥ 9.
Ответ: 9 ом.
Методические рекомендации
Типичные затруднения
- Некорректная работа со знаменателями: перед умножением неравенства на выражение с переменной необходимо определить его знак.
- Путаница с направлением неравенств: при умножении на отрицательную величину знак неравенства меняется на противоположный.
- Потеря физического смысла: полученные решения должны проверяться на соответствие реальным условиям (положительность величин, допустимые диапазоны).
Универсальный алгоритм работы
- Тщательно изучи условие, выделив все заданные параметры и ограничения.
- Запиши основную расчётную формулу.
- Подставь в неё известные числовые значения.
- Сформулируй уравнение или неравенство, отражающее требование задачи.
- Выполни алгебраические преобразования, контролируя область допустимых значений.
- Проведи анализ полученного результата.
Заключение:
Задачи такого типа развивают не только математические навыки, но и способность к анализу практических ситуаций. Регулярная тренировка на разнообразных примерах формирует устойчивый алгоритм действий и помогает не допускать типичных ошибок, что особенно важно на экзамене.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
