Свойства тригонометрических функций регулярно встречаются в первой и второй части профильного ЕГЭ по математике. Ошибки здесь часто возникают из-за путаницы в периодах, амплитудах и поведении графика. В этой статье разберём основные характеристики синуса и научимся применять их для решения уравнений и поиска экстремумов. Это поможет тебе уверенно справляться с заданиями на алгебру и начала анализа.
Свойства функции синуса
Изучим свойства $y = \sin x$.
- Область определения. Переменная $x$ в аргументе синуса может принимать любые значения. Математически обозначается как $D(y) = \mathbb{R}$.
- Область значений. Синус принимает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, $E(y) = [-1; 1]$.
- Чётность и нечётность. Функция синуса нечётная, то есть $\sin(-x) = -\sin x$. На графике это проявляется в симметрии относительно начала координат.
- Периодичность. Синус — периодическая функция с периодом $T = 2\pi$. Это означает равенство $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
- Нули функции. Это точки пересечения графика с горизонтальной осью $Ox$. Равенство $\sin x = 0$ достигается при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Промежутки монотонности. $y = \sin x$ возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ и убывает на $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Точки экстремума. Максимальное значение, равное $1$, достигается в точках максимума $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Минимальное значение, равное $-1$, достигается в точках минимума $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
График синуса и влияние коэффициентов
График функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 2\pi]$ проходит через точки $(0; 0)$, $(\frac{\pi}{2}; 1)$, $(\pi; 0)$, $(\frac{3\pi}{2}; -1)$ и $(2\pi; 0)$. Полученный фрагмент дублируется влево и вправо — так образуется график, который называется синусоидой.
В задачах часто встречается функция синуса с коэффициентами.
Общий вид уравнения синусоиды записывается как $y = A \sin(x + \varphi) + B$. Каждый коэффициент отвечает за определённое преобразование графика.
Разберём влияние каждого коэффициента:
- Коэффициент $A$ отвечает за растяжение графика вдоль вертикальной оси $Oy$. Если $A > 1$, синусоида растягивается, если $0 < A < 1$ — сжимается. Отрицательное значение переворачивает график зеркально вниз.
- Коэффициент $\varphi$ сдвигает график влево или вправо вдоль оси $Ox$.
- Коэффициент $B$ поднимает или опускает график вдоль оси ординат на $B$ единиц.
Построение графика по шагам
Рассмотрим порядок построения графика на примере функции $y = 2\sin(x-\frac{\pi}{3}) + 1$.
1. Сначала построим график $y = \sin x$.
2. Так как коэффициент перед синусом $A = 2$, выполним растяжение графика в $2$ раза. Значения функции во всех точках умножаются на $2$.
3. В аргументе синуса стоит разность $(x-\frac{\pi}{3})$, поэтому нужно перенести график на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Например, точка $(0; 0)$ переместится в $(\frac{\pi}{3}; 0)$.
4. Так как к синусу прибавляется единица, нужно сдвинуть график на $1$ вверх.
5. Получаем график функции $y = 2 \sin (x-\frac{\pi}{3}) + 1$.
Примеры решения задач
Решим несколько задач на свойства синуса.
Пример 1
Реши уравнение $\sin x-1 = x^2$.
Решение
1. Оценим значение левой части уравнения:
$-1 \le \sin x \le 1$;
$-2 \le \sin x-1 \le 0$.
2. Рассмотрим правую часть уравнения. Значение $x^2$ всегда больше или равно нулю: $x^2 \ge 0$.
3. Значит, уравнение имеет корни только тогда, когда обе его части строго равны нулю одновременно. Получается система уравнений:
$\left\{ \begin{array}{cl} \sin x-1 = 0; \\ x^2 = 0. \end{array} \right.$
4. Второе уравнение системы имеет одно решение $x = 0$.
5. Подставим корень в первое уравнение: $\sin 0-1 = 0-1 = -1$. Получили, что при $x = 0$ уравнение обращается в неверное равенство. Других корней уравнение иметь не может, значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.
Пример 2
Является ли функция $f(x) = \sin(x-2\pi)-x$ чётной или нечётной?
Решение
1. Упростим функцию, отбросив период в аргументе синуса:
$f(x) = \sin(x-2\pi)-x = \sin x-x$.
2. Подставим $-x$ вместо $x$ и преобразуем:
$f(-x) = \sin (-x)-(-x) = -\sin x + x = -(\sin x-x) = -f(x)$.
3. Получили, что $f(-x) = -f(x)$, значит, функция является нечётной.
Ответ: функция $f(x) = \sin(x-2\pi)-x$ нечётная.
Типичные ошибки в заданиях на свойства синуса
Чтобы не потерять баллы на простых ловушках, проверяй решения по этому списку:
- Игнорирование коэффициентов. Ошибочно считать, что максимальное значение функции $y = 4\sin x + 2$ равно $3$. Важно сначала учесть множитель $4$: функцию $\sin x$ он расширяет до отрезка от $-4$ до $4$. И только затем к границам интервала прибавляется вертикальный сдвиг. Верное максимальное значение составит $4 + 2 = 6$.
- Путаница с переменными. Рассуждая над уравнением $\sin x = 0{,}5$, можно по ошибке решить, что аргумент $x$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Важно помнить: неизвестная переменная $x$ представляет собой угол, поэтому может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Отрезком $[-1; 1]$ ограничен только сам результат вычисления функции синуса.
- Потеря минуса. Запись $\sin(-x) = \sin x$ — грубая ошибка. Функция синуса нечётная, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$.
Задания для самопроверки
Проверим понимание ключевых правил и свойств.
Задание 1. Найди область определения и множество значений функции $y = -3\sin x + 4$.
1. Синус определён при всех значениях $x$. Функция не содержит знаменателей, логарифмов и корней. Значит, её область определения — $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Оценим, какие значения принимает функция:
$-1 \le \sin x \le 1$;
$-1 \cdot (-3) \geq -3\sin x \geq 1 \cdot (-3)$;
$3 \geq -3\sin x \geq -3$;
$-3 \le -3\sin x \le 3$;
$-3 + 4 \le -3\sin x + 4 \le 3 + 4$;
$1 \le -3\sin x + 4 \le 7$.
$E(y) = [1; 7]$ — множество значений функции $y = -3\sin x + 4$.
Ответ: $D(y) = \mathbb{R}, \, E(y) = [1; 7]$.
Задание 2. В какую сторону сдвинут график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ относительно графика $y = \sin x$?
Аргумент синуса содержит слагаемое $\frac{\pi}{4}$. Значит, точка $(0; 0)$ графика $y = \sin x$ сдвинется в точку $(-\frac{\pi}{4}; 0)$ графика $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. То есть график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ сдвинут влево относительно графика $y = \sin x$.
Ответ: сдвинется влево.
Задание 3. Найди минимальное значение функции $y = 10\sin x-3$.
Минимально возможное значение $\sin x$ равно $-1$. Умножим его на $10$, получаем $-10$. Дополнительно вычитаем $3$ согласно формуле. Итоговое значение: $-13$.
Ответ: $-13$.
Заключение
Теперь ты умеешь определять свойства функции $y = \sin x$, строить её график и понимать, как каждый коэффициент в уравнении влияет на его форму. Ты знаешь, чем отличаются область определения и множество значений, и можешь применять эти знания для поиска максимумов и минимумов без помощи производной. Чтобы набить руку на экзаменационных формулировках, рекомендуем решить 8–10 задач на свойства тригонометрических функций из нашего банка заданий. Практика поможет тебе не бояться ловушек со знаками и легко справляться с тригонометрией на профильном ЕГЭ.
