В ЕГЭ по математике функции и их графики встречаются в первой и второй частях. Свойства функции $y = \mathrm{tg}\,x$ часто вызывают трудности из-за разрывов и асимптот. Ученики теряют баллы, забывая про область определения или путая период тангенса с периодом синуса. Разберём свойства этой функции, чтобы уверенно решать тригонометрические задачи.
Основные свойства функции тангенс
Тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу.
Основные свойства функции $y = \tg x$:
- Область определения. Тангенс существует не везде. Так как делить на ноль нельзя, знаменатель (косинус) не должен равняться нулю. Из области существования исключаются точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Область значений. Тангенс может принимать любые значения. Множество значений записывается как $E(y) = (−\infty; +\infty)$.
- Периодичность. Наименьший положительный период для тангенса равен $T = \pi$.
- Чётность. Это нечётная функция: $\mathrm{tg}(−x) = −\mathrm{tg}\,x$. График симметричен относительно начала координат.
- Поведение на интервалах. На каждом интервале своей области определения (например, от $−\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$) функция возрастает. Точек экстремума нет.
График функции тангенса и роль коэффициентов
График функции $y = \tg x$ называется тангенсоидой.
Тангенсоида — это бесконечное множество одинаковых изогнутых линий. Центральная главная ветвь проходит строго через начало координат. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ — вертикальные асимптоты графика. Ветви графика бесконечно стремятся к ним.
В заданиях иногда встречается функция вида $y = a \cdot \tg (x + b) + c$. Разберём, за что отвечает каждый коэффициент:
- Коэффициент $a$ растягивает или сжимает ветви вдоль вертикальной оси $Oy$. Если перед ним стоит знак минус, график зеркально отразится относительно оси абсцисс.
- Параметр $b$ отвечает за параллельный перенос графика влево или вправо вдоль оси $Ox$.
- Коэффициент $c$ двигает рисунок вверх или вниз вдоль оси $Oy$.
Пошаговый алгоритм решения графических задач
Чтобы построить график $y = a \cdot \tg (x + b) + c$, придерживайся этого плана действий:
- Построй график $y = \tg x$.
- Умножь все значения графика на $a$, и получится сжатый или растянутый график $y = a\tg x$.
- Сдвинь график на $b$ единиц вправо или влево и на $c$ единиц вверх или вниз в зависимости от знаков коэффициентов.
Разбор типичных заданий
Пример № 1
Дана функция $f(x) = a \cdot \tg x + b$, график которой проходит через точки $(0; −1)$ и $(\frac{\pi}{4}; 1)$. Найдите значение коэффициентов $a$ и $b$.
Решение
Шаг 1. Подставим координаты первой точки $(0; −1)$ в исходное уравнение и найдём $b$:
$a \cdot \tg 0 + b = −1$;
$a \cdot 0 + b = −1$;
$b = −1$.
Шаг 2. Используем вторую точку $(\frac{\pi}{4}; 1)$ и найденный параметр $b$, чтобы найти коэффициент $a$:
$a \cdot \tg \left(\dfrac{\pi}{4} \right)-1 = 1$;
$a \cdot 1 = 2$;
$a = 2$.
Ответ: $a = 2, \, b = −1$.
Пример № 2
Постройте график функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$.
Решение
Шаг 1. Сначала построим график тангенсоиды $y = \tg x$.
Шаг 2. Прибавление положительного числа $\frac{\pi}{3}$ внутри аргумента означает параллельный перенос графика вдоль оси $Ox$ влево. $\frac{\pi}{3}$ на графике соответствует двум клеткам по оси $x$, сдвинем асимптоты и сам график на 2 клетки влево.
Типичные ошибки на экзамене
Избегай следующих ловушек при решении второй части экзамена:
- Игнорирование ограничений. Всегда проверяй полученные корни тригонометрических уравнений на соответствие условию $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Часто один из корней попадает ровно в вертикальную асимптоту, и его нужно отсеять.
- Спорные периоды. Нельзя использовать период $2\pi$ по аналогии с синусом или косинусом. Нужно запомнить, что период функции тангенса равен $\pi$.
- Попытки вычислить невозможное. Искать числовое значение тангенса для угла в $90^{\circ}$ нельзя. В этой точке функция не определена.
- Невнимательность к бланку. В бланк ответа первой части ЕГЭ можно вписать только целое число или конечную десятичную дробь. Наличие буквы $\pi$ в финальном ответе всегда означает незавершённое решение или вычислительную ошибку.
Проверь себя
Закрепи пройденную теорию с помощью небольших вопросов.
Задание № 1
Пересекает ли график функции $y = \tg x$ ось абсцисс в точке $x = \pi$?
Да. Значение тангенса в точке $\pi$ равно нулю.
Задание № 2
Укажи интервалы, на которых функция $y = \tg x$ монотонно убывает.
Таких интервалов нет. Тангенс непрерывно возрастает на каждом интервале своей области определения.
Задание № 3
Является ли функция $f(x) = x \cdot\tg 2x + x^2$ чётной или нечётной?
Подставим в функцию $−x$ вместо $x$ и упростим:
$f(−x) = −x \cdot\tg (−2x) + (−x)^2 = −x \cdot (−\tg 2x) + x^2 = x \cdot \tg 2x + x^2$.
Получилось, что $f(−x) = f(x)$, значит, функция чётная.
Ответ: функция чётная.
Заключение
Теперь ты знаешь свойства функции $y = \mathrm{tg}\,x$ и понимаешь, как строится её график. Эти знания помогут без ошибок находить область определения, решать уравнения с учётом асимптот. Главное — всегда проверять корни на соответствие ОДЗ, чтобы не потерять баллы во второй части экзамена из-за посторонних решений. Чтобы довести навык до автоматизма, рекомендуем решить 8–10 аналогичных прототипов в «100балльном банке».
