Введение
Итак, мы уже умеем умножать вектор на число, складывать и вычитать их, а что насчёт умножения и деления? Обычно они идут следом, но не тут-то было. Не будем забегать вперёд, начнём по порядку.
Угол между векторами
Пусть на плоскости есть два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Построим векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ от какой-либо точки A.
$\angle BAC$ — и есть угол между векторами. И построить его можно от любой точки плоскости.
Обозначение: $\angle BAC = (\widehat{\vec{a}\vec{b}})$.
Как и любой угол на плоскости, векторы могут образовать между собой угол от 0 до 180 градусов.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ называется число, полученное в результате перемножения длин этих векторов на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{b}})$.
В прямоугольной системе координат скалярное произведение выражается формулой:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $\vec{a}\{8; 6\}$ и $\vec{b}\{−3; −3\}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = −24 + (−18) = −42$.
Ответ: −42.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $|\vec{a}|=2, |\vec{b}| = 6\sqrt{2}$ и угол между ними $135^\circ$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{b}}) = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ = 12\sqrt{2} \cdot (−\frac{\sqrt{2}}{2}) = −12$.
Ответ: −12.
Пример 3. На рисунке изображены два вектора. Найти их скалярное произведение.
Определим координаты векторов: это $\{4 − 5; 5 − (− 1)\} = \{− 1; 6\}$.
$\{− 6 − (− 1); − 2 − (− 1)\} = \{− 5; − 1\}$
Тогда скалярное произведение векторов $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 5 + (− 6) = − 1$
Ответ: −1.
Пример 4. На рисунке изображены точки A, B, C, D.
Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.
$\overrightarrow{AB} = \{4 − (− 4); 3 − (− 1)\} = \{8; 4\}$
$\overrightarrow{CB} = \{− 6 − (− 3); 5 − 4\} = \{− 3; 1\}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 8 \cdot (− 3) + 4 \cdot 1 = − 24 + 4 = − 20$.
Ответ: −20.
Для чего нужно скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов позволяет решать практические задачи на вектор: находить угол между ними и определять их взаимное расположение. Пусть на плоскости даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ и $(\widehat{\vec{a}\vec{b}}) = \alpha$.
- Если необходимо найти угол между векторами, нужно выразить косинус из формулы скалярного произведения $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ и определить значение угла.
В координатной форме $\cos\alpha = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$. - Расположение векторов относительно друг друга.
Если векторы перпендикулярны, то угол между ними $90^\circ$, и так как $\cos 90^\circ = 0$, то скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Если векторы коллинеарны, то угол между ними $0^\circ$ или $180^\circ$. При значении $\alpha = 0^\circ$, векторы сонаправлены, а $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 0^\circ = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ При значении $\alpha = 180^\circ$ векторы противоположно направлены, а $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 180^\circ = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot (− 1) = − |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
Все утверждения работают в обе стороны, так что ориентируйся на условие задания.
Пример 5. При каком значении x векторы $\vec{a}\{−10; 12\}$ и $\vec{b}\{6; x\}$ перпендикулярны?
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Решим уравнение $− 60 + 12x = 0$.
$x = 5$
Ответ: 5.
Пример 6. Даны векторы $\vec{a}\{−1; −9\}$ $\vec{b}\{9; 5\}$ и $\vec{c}\{8; 2\}$.
Найти значение выражения $(\vec{a} − \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
Сначала найдём разность векторов $\vec{a} − \vec{b} = \{(−1) − 9; (−9) − 5\} = \{−10; −14\}$.
Ну а далее скалярно перемножим $(\vec{a} − \vec{b}) \cdot \vec{c} = − 10 \cdot 8 − 14 \cdot 2 = − 108$.
Ответ: −108.
Если ты вдруг по мере изучения задумался о том, почему не назвать операцию просто «произведение векторов», то спешу тебя обрадовать: существует ещё и векторное произведение векторов. Оно имеет совершенно другой смысл, обозначение и терпеливо ждёт встречи с тобой на первом курсе университета, после успешной сдачи профиля.
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
