Введение
Добро пожаловать на встречу с Боссом! То, ради чего были все предыдущие уроки и разделы по производной, все твои знания понадобятся тебе здесь, в решении №12 профильного ЕГЭ, посвящённого исследованию функции с помощью производной.
Что нужно знать?
- Таблица производных элементарных функций.
- Правила дифференцирования для функций f и g:
Правило суммы $(f + g)’ = f’ + g’$;
Правило умножения $(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + g’ \cdot f$;
Правило деления $\left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’g − g’f}{g^2}, \quad g \neq 0$;
Сложная функция $[f(g(x))]’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - Связь графиков функции и её производной.
Алгоритм решения №12
- Внимательно читаем задание и сразу же отмечаем, что необходимо найти: точку минимума/максимума (это про x) или минимальное/максимальное значение функции (это про y).
- Вычисляем производную функции, соблюдая правила дифференцирования.
- Приравниваем найденную производную к нулю и решаем получившееся уравнение.
- Наносим нули производной (найденные корни) на числовую ось и как в методе интервалов расставляем знаки: положительна или отрицательна производная на каждом числовом отрезке.
- Расставляем знаки возрастания или убывания функции, ориентируясь на знак производной и используя их взаимосвязь: если +, то функция возрастает, а если –, то убывает.
- Отмечаем точки минимума/максимума по правилу смены знака.
- Даём ответ на вопрос задачи.
Рассмотрим на примере:
Пример 1. Найти точку минимума функции $y=x^3-24x^2+11$.
- Точка минимума — ищем $x_{min}$.
- $y’ = 3x^2 − 48x$— использовали правило суммы и производную степенной функции.
- Приравниваем производную к нулю y’=0
$3x^2 − 48x = 0$
$3x(x − 16) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 16$ — потенциальные экстремумы (критические точки). - Наносим полученные значения на числовую ось и определяем знаки производной на отрезках. По полученным знакам определяем поведение функции на каждом отрезке:
- Определяем точки максимума и минимума функции:
- Точка минимума x = 16.
Ответ: 16.
В данном примере мы находили точку минимума на всей области определения функции. А что делать, если их несколько? Мы встречались с такими случаями при решении задания 8 экзамена. В таком случае тебе всегда будет дан конкретный числовой промежуток, на котором необходимо будет сделать анализ функции. В этом случае есть опасный момент: иногда минимальное или максимальное значение функции может прятаться в концах данного отрезка. Поэтому всегда выполняй анализ поведения функции или просто проверяй данные точки подстановкой в уравнение.
Пример 2. Найти наименьшее значение функции $y=(x-8)e^{x−7}$ на отрезке [6;8].
- Наименьшее значение — ищем $y_{min}$, значит полученные «иксы» нужно будет подставлять в исходное уравнение $y_{min}(x_{min})$.
- $y’ = e^{x−7} \cdot 1 + e^{x-7} \cdot (x − 7)’ \cdot (x − 8) = e^{x−7}(x − 7)$ — воспользовались правилами произведения и сложной функции.
- Приравниваем производную к нулю y’ = 0
$e^{x−7}(x − 7) = 0 \Leftrightarrow x = 7$ — потенциальная точка минимума. - Наносим полученные значения на числовую ось и определяем знаки производной на отрезках. По полученным знакам определяем поведение функции на каждом промежутке и отмечаем данный в условии отрезок.
Работаем на отрезке [6;8], значит необходимо поработать и с концами отрезка, вдруг именно в них минимальное или максимальное значение. Конкретно в данном задании мы видим, что функция в значении 6 принимает большее значение, и, очевидно, в 8 также (достаточно посмотреть на стрелочки, но можешь подставить и проверить). Значит, х = 7 — точка минимума.Примечание: в качестве подсказки и самопроверки — мы должны получить «хорошее» значение в ответе, а значит, экспонента должна посчитаться. А это возможно лишь при нулевой степени, так как $e^0=1$. - Точка минимума x = 7, минимальное значение
$y_{min}(7) = (7 − 8)e^{7−7} = −1$
Ответ: -1.
Пример 3. Найти точку минимума функции $y = 4x – 4\ln(x + 7)$.
Видим логарифм — находим область определения.
$x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > − 7$ важно это учитывать при ответе.
- Точка минимума — ищем $x_{min}$.
- $y’ = 4 − \frac{4}{x+7} \cdot (x + 7)’ = 4 − \frac{4}{x+7}$ — воспользовались правилом суммы и сложной функции.
- Приравниваем производную к нулю y’ = 0
$4 − \frac{4}{\ln(x+7)} = 0 \Leftrightarrow x = − 6$ — потенциальная точка минимума. 
Не забываем отметить область определения!- Точка −6 попадает в область определения и является точкой минимума.
Ответ: −6.
Что мы всё про базовые минимумы, пора поработать и на максимумах!
Пример 4. Найти точку максимума функции $y = −\frac{x}{x^2+256}$.
- Точка максимума — ищем $x_{max}$.
- $y’ = − \frac{x'(x^2+256)−x(x^2+256)’}{(x^2+256)^2} = − \frac{x^2+256−x\cdot 2x}{(x^2+256)^2} = − \frac{256−x^2}{(x^2+256)^2} = \frac{x^2−256}{(x^2+256)^2}$ — использовали правило деления.
- $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2−256}{(x^2+256)^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 − 256 = 0 \Leftrightarrow x = − 16 \text{ или } x = 16$ — потенциальные экстремумы.
- Точка максимума $x_{max} = −16$.
Ответ: −16.
Пример 5. Найти наибольшее значение функции $y = 12\cos x + 6\sqrt{3}x − 2\sqrt{3}\pi + 6$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
- Наибольшее значение функции — $y_{max}$, значит полученные «иксы» нужно будет подставлять в исходное уравнение $ y_{max}(x_{max})$.
- $y’ = −12\sin x + 6\sqrt{3}$ — воспользовались правилом суммы.
- Приравниваем производную к нулю y’ = 0
$−12\sin x + 6\sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x \in [0; \frac{\pi}{2}] \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}$ — важный момент, что мы берём значение из указанного отрезка, а не серию корней. 
- $\frac{\pi}{3}$ — точка максимума, значит именно в ней будет максимальное значение функции на данном отрезке. Посчитаем его:
$y_{max}(\frac{\pi}{3}) = 12\cos\frac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} − 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12 \cdot 0,5 + 2\sqrt{3}\pi − 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12$
Ответ: 12.
Следующий пример обязательно попробуй сначала решить самостоятельно, а потом проверь решение.
Пример 6. Найти наибольшее значение функции $y = -13\cos x + 20x + 14$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.
- Наибольшее значение функции — $y_{max}$, значит полученные «иксы» нужно будет подставлять в исходное уравнение $y_{max}(x_{max})$.
- $y’ = 13\sin x + 20$ — воспользовались правилом суммы.
- Приравниваем производную к нулю y’ = 0
$13\sin x + 20 = 0 \Leftrightarrow \sin x = -\frac{20}{13} < -1 \Rightarrow$ уравнение не имеет решения. Что же делать? Вот тут мы и будем анализировать поведение функции и работать с заданным отрезком $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$. - Первый способ классический: подставить любое значение в уравнение и определить поведение функции на всей области определения, в том числе и на заданном отрезке.
- Тогда видим, что x = 0 — точка максимума.
Второй способ. Раз у нас нет потенциальных экстремумов, мы просто проверяем концы отрезка.
$y(-\frac{\pi}{2}) = -13\cos(-\frac{\pi}{2}) + 20 \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 14$ — схитрим рассуждениями, что ответа с $(-\frac{\pi}{2})$ быть не может в бланке.
$y(0) = -13\cos 0 + 20 \cdot 0 + 14 = -13 + 14 = 1$; - x = 0-точка максимума, значит именно в ней будет максимальное значение функции на данном отрезке. Посчитаем его:
$y_{max}(0) = -13\cos 0 + 20 \cdot 0 + 14 = -13 + 14 = 1$.
Ответ: 1.
Заключение
Вот такое вот красивое завершение изучения темы «Производная» у нас с тобой получилось. Конечно, после профильного ЕГЭ есть ещё жизнь и о производной можно узнать много интересного, например, что существует вторая и третья производные, они имеют свой смысл и вообще очень крутые штуки, но это уже совсем другая история.
Автор:
Фролов Павел, методист “100балльного репетитора” по математике ЕГЭ
