Логарифмические уравнения регулярно встречаются в первой и второй части профильного ЕГЭ по математике. Ошибки в ограничениях и формулах приводят к потере баллов. Разберём свойства функции, алгоритм действий и основные методы решения, которые помогут уверенно справляться с заданиями экзамена.
Определение и свойства логарифмов
Логарифмом положительного числа $a$ по основанию $b$ называют степень, в которую нужно возвести $b$, чтобы получить $a$. То есть если $\log_b{a}=c$, то $b^c=a$.
То есть если $\log_b{a}=c$, то $b^c=a$.
Свойства логарифмов
Для решения уравнений нужно знать основные свойства:
- Сложение и вычитание. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: $\log_a{bc} = \log_a b + \log_a c$. Логарифм частного равен разности: $\log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b)-\log_a(c)$.
- Степени аргумента и основания. Если аргумент содержит степень, её показатель выносится как множитель перед знаком логарифма: $\log_a{b^p} = p \cdot \log_a b$. Если степень находится в основании, показатель выносится как обратная величина: $\log_{a^q} b = \frac{1}{q} \cdot \log_a b$.
- Основное логарифмическое тождество. При возведении числа $a$ в степень логарифма с основанием $a$ получится аргумент логарифма: $a^{\log_a b} = b$.
Область допустимых значений (ОДЗ)
Решение любого уравнения нужно начинать с ограничений. Чтобы выражение $\log_b a$ имело смысл, должны одновременно выполняться три условия:
- Аргумент логарифма строго положительный: $a > 0$.
- Основание логарифма положительное: $b > 0$.
- Основание логарифма не равно единице: $b \neq 1$.
Если переменная находится в основании и в аргументе одновременно, все три условия объединяются в систему неравенств.
Алгоритм решения логарифмических уравнений
При решении заданий придерживайся этого плана действий:
- Запиши ограничения: систему неравенств для аргумента и основания.
- Используй свойства логарифмов, чтобы привести обе части уравнения к одному основанию или свести выражение к виду, когда можно взять замену.
- Избавься от знака логарифма путём приравнивания аргументов или введи новую переменную.
- Найди корни полученного уравнения.
- Выполни проверку: подставь корни в записанные в начале ограничения или в изначальное условие.
Виды уравнений и примеры из ЕГЭ
Разберём примеры логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
К этой группе относятся выражения $\log_a x = b$. Для поиска неизвестного достаточно использовать только определение логарифма.
Найдите корень уравнения $\log_3{(4-x)} = 4$.
Решение
1. Поставим ограничение на аргумент логарифма:
$4-x > 0; \\ x < 4.$
2. По определению логарифма преобразуем уравнение:
$4-x = 3^4; \\ 4-x = 81.$
3. Решим линейное уравнение:
$x = 4-81; \\ x = -77.$
Это значение подходит под ограничение $x < 4$ и является корнем уравнения.
Ответ: −77.
Уравнения с одинаковыми основаниями
Если слева и справа стоят логарифмы с одинаковыми основаниями $\log_a{f(x)} = \log_a{g(x)}$, нужно приравнять их аргументы: $f(x) = g(x)$.
Решите уравнение $\log_5{(x + 2)} = \log_5{(3x-6)}$.
Решение
1. Поставим ограничения на аргументы логарифмов:
$\left\{ \begin{array}{cl} x + 2 > 0; \\ 3x-6 > 0; \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{cl} x > -2; \\ x > 2; \end{array} \right.$
$x > 2.$
2. Основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:
$x + 2 = 3x-6.$
3. Найдём значение $x$:
$3x-x = 6 + 2; \\ 2x = 8; \\ x = 4.$
4. Так как $4 > 2$, найденный корень подходит под ограничение.
Ответ: 4.
Уравнения с разными основаниями
В таких уравнениях основания логарифмов разные, но являются степенями одного и того же числа. Для их решения нужно привести логарифмы к общему основанию с помощью изученных свойств.
Решите уравнение $\log_4 x + \log_2 x = 3$.
Решение
1. Запишем ограничение: $x > 0$.
2. Число 4 представим в виде $2^2$ и воспользуемся свойством логарифмов:
$\log_{2^2} x + \log_2 x = 3; \\ \frac{1}{2} \log_{2} x + \log_2 x = 3.$
3. Умножим уравнение на 2 и приведём подобные слагаемые:
$\log_{2} x + 2\log_2 x = 6; \\ 3\log_2 x = 6; \\ \log_2 x = 2.$
4. Найдём значение $x$:
$x = 2^2; \\ x = 4.$
5. Это значение удовлетворяет ограничениям $x > 0$ и является корнем уравнения.
Ответ: 4.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Такие задания сводят к замене переменной, чтобы получилось квадратное уравнение.
Решите уравнение $3\log_8^2(\sin x)-5\log_8(\sin x)-2 = 0$.
Решение
1. Поставим ограничение на аргумент логарифма: $\sin x > 0$.
2. Возьмём замену $t = \log_8(\sin x)$:
$3t^2-5t-2 = 0.$
3. Найдём $t$ через дискриминант:
$D = (-5)^2-4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49; \\ t_1 = \dfrac{-(-5)-\sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \dfrac{5-7}{6} = -\dfrac{1}{3}; \\ t_2 = \dfrac{-(-5)+\sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \dfrac{5+7}{6} = 2.$
4. Сделаем обратную замену:
$\log_8(\sin x) = -\dfrac{1}{3}; \\ \log_8(\sin x) = 2.$
5. Решим первое уравнение:
$\sin x = 8^{-\frac{1}{3}}; \\ \sin x = \dfrac{1}{2}; \\ x = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n; \\ x = \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}.$
6. Решим второе уравнение:
$\sin x = 8^{2}; \\ \sin x = 64.$
Уравнение не имеет корней, так как синус не может принимать значения больше 1.
7. Так как $\frac{1}{2} > 0$, найденные корни удовлетворяют ограничениям.
Ответ: $x = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n;\, x = \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.
Решение методом вынесения множителя
Подход применяется, если в уравнении есть несколько слагаемых, которые содержат общую функцию.
Решите уравнение $x \cdot \log_3 x-9 \cdot \log_3 x = 0$.
Решение
1. Запишем ограничение: $x > 0$.
2. Вынесем общий множитель $\log_3 x$ за скобки:
$\log_3 x \cdot (x-9) = 0.$
3. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый из них к нулю:
$\log_3 x = 0; \\ x-9 = 0.$
4. Найдём значения $x$:
$x = 1; \\ x = 9.$
5. Оба числа положительны, что удовлетворяет ограничениям.
Ответ: $x = 1;\,x = 9$.
Логарифмирование обеих частей
Этот приём используется, когда переменная находится одновременно в основании и в показателе степени.
Решите уравнение $x^{\log_2 x} = 16$.
Решение
1. Запишем ограничение: $x > 0$.
2. Обе части выражения положительны, можем прологарифмировать их по основанию 2:
$\log_2 \left( x^{\log_2 x} \right) = \log_2(16).$
3. С помощью свойств логарифмов упростим выражение:
$\log_2 x \cdot \log_2 x = 4; \\ \log_2^2 x = 4.$
4. Извлечём квадратный корень:
$\log_2 x = \pm 2.$
Найдём значения $x$:
$\log_2 x = -2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}; \\ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4.$
5. Оба числа больше нуля и подходят под ограничения.
Ответ: $0{,}25;\,4$.
Типичные ошибки и ловушки ЕГЭ
- Потеря модуля при чётной степени. Когда аргумент логарифма находится в чётной степени, при вынесении этой степени нужно поставить модуль на аргумент. Например, из $\log_2(x^2)$ получится $2 \cdot \log_2|x|$.
- Отсутствие ограничений на основание. Если в уравнении есть логарифм, основание которого зависит от $x$, на него обязательно нужно поставить ограничение. Например, для $\log_x 5 = 1$ поставим ограничения $x > 0$ и $x \neq 1$.
- Решение без учёта ограничений. Некоторые преобразования могут привести к появлению посторонних корней. Нужно обязательно ставить ограничения и проверять корни на соответствие этим условиям.
Задания для самопроверки
Реши задания самостоятельно, а затем сравни свои вычисления с правильными.
Задание 1
Найдите корень уравнения $\log_7(2x-5) = 1$.
1. Поставим ограничение на переменную:
$2x-5 > 0; \\ x > 2{,}5.$
2. По определению логарифма преобразуем равенство:
$2x-5 = 7.$
3. Найдём $x$:
$2x = 12; \\ x = 6.$
4. Найденное значение подходит под ограничение и является корнем.
Ответ: $x = 6$.
Задание 2
Решите уравнение $\log_{2}^2 x-3\log_2 x + 2 = 0$.
1. Запишем ограничение: $x > 0$.
2. Введём замену $t = \log_2 x$:
$t^2-3t + 2 = 0.$
3. Найдём значения $t$ через дискриминант:
$D = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 9-8 = 1; \\ t_1 = \dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3-1}{2} = 1; \\ t_2 = \dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 + 1}{2} = 2.$
4. Сделаем обратную замену и найдём $x$:
$\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2; \\ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4.$
5. Оба значения удовлетворяют ограничениям, запишем их в ответ.
Ответ: $x = 2, \, x = 4$.
Заключение
Теперь ты легко сможешь:
- применять свойства логарифмов;
- решать уравнения формата профильного ЕГЭ из первой и второй части;
- верно оформлять решение, чтобы оно не привело к потере или появлению посторонних корней.
Чтобы закрепить навык, рекомендуем решить 10–15 типовых задач первой части и тренировочные уравнения из задания 13 банка ЕГЭ.
