Обратные тригонометрические функции: теория и разбор задач ЕГЭ

11 класс

Например, задача № 16 по математике

Главная
100балльный учебник
Обратные тригонометрические функции: теория и разбор задач ЕГЭ

300k учеников уже поступили в вуз мечты вместе с нами — теперь твоя очередь!

Обратные тригонометрические функции встречаются в заданиях ЕГЭ по профильной математике, особенно при решении тригонометрических уравнений. Ошибки в этой теме обычно связаны с тем, что ученики забывают о допустимых промежутках значений. Разберём, как работают аркфункции, какие у них свойства и как применять их в вычислениях. После статьи у тебя будет алгоритм для типичных заданий и самопроверки.

Теория по частям: знакомимся с аркфункциями

Приставка «арк» в математике означает «дуга» или «угол». Если обычная тригонометрическая функция берёт угол и выдаёт число, то обратная функция делает наоборот: принимает число и возвращает угол.

Обычные тригонометрические функции периодичны, поэтому одно и то же значение повторяется бесконечно много раз. Чтобы обратная операция давала один ответ, для каждой функции выбирают специальный промежуток. Его называют главной ветвью.

Арксинус

Функция $y = \arcsin x$ возвращает такой угол из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен числу $x$.

Главные свойства арксинуса:

область определения: $[-1; 1]$;
множество значений: $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
функция нечётная: $\arcsin(-x) =-\arcsin x$;
функция возрастает на всей области определения.

Ограничение $[-1; 1]$ появляется потому, что синус не может быть больше $1$ или меньше $-1$. График $y = \arcsin x$ симметричен графику синуса на главной ветви относительно прямой $y = x$.

График арксинуса y = arcsin x с возрастанием на отрезке значений главной ветви.

Забирай курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ с жирной скидкой

Арккосинус

Функция $y = \arccos x$ находит угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.

Главные свойства арккосинуса:

область определения: $[-1; 1]$;
множество значений: $[0; \pi]$;
функция не является ни чётной, ни нечётной;
функция убывает на всей области определения.

С отрицательными аргументами работает формула:
$\arccos(-x) = \pi-\arccos x$.

График арккосинуса y = arccos x, убывающего на области определения от -1 до 1.

Арктангенс и арккотангенс

Функция $y = \arctg x$ находит угол из интервала $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $x$.

Главные свойства арктангенса:

область определения: $(-\infty; +\infty)$;
множество значений: $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$;
функция нечётная: $\operatorname{arctg}(-x) =-\operatorname{arctg} x$;
функция возрастает.

График арктангенса приближается к двум горизонтальным асимптотам: $y = \frac{\pi}{2}$ при движении вправо и $y =-\frac{\pi}{2}$ при движении влево.

График арктангенса y = arctg x с горизонтальными асимптотами и возрастанием функции.

Функция $y = \arcctg x$ выбирает угол из интервала $(0; \pi)$. Её область определения — вся числовая прямая. Арккотангенс, как и арккосинус, не является ни чётной, ни нечётной функцией. Для отрицательного аргумента используется формула:

$\arcctg(-x) = \pi-\arcctg x$.

График арккотангенса y = arcctg x на интервале значений от 0 до π.

Алгоритм работы с аркфункциями

Чтобы не запутаться в значениях, действуй по одному алгоритму.

Проверь границы. Для арксинуса и арккосинуса аргумент должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Если он выходит за эти границы, выражение не имеет смысла или уравнение не имеет решений.
Избавься от отрицательных аргументов. Для арксинуса и арктангенса минус можно вынести перед функцией. Для арккосинуса и арккотангенса нужно использовать вычитание из $\pi$.
Найди базовый угол. Вспомни табличные значения и определи угол, который даёт нужное значение функции.
Проверь промежуток. Ответ должен попасть в главную ветвь нужной обратной функции.

Практика: задания, адаптированные под формат ЕГЭ

Рассмотрим решение заданий с аркфункциями.

Пример № 1

Найди значение выражения:

$6\sqrt{3} \cdot \cos(\arcsin 0{,}5)$.

Решение

Пусть $\arcsin 0{,}5 = \alpha$. По определению арксинуса угол $\alpha$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, при этом $\sin \alpha = 0{,}5$. Значит:
$\alpha = \dfrac{\pi}{6}$.
Подставляем найденный угол в исходное выражение:
$6\sqrt{3} \cdot \cos\dfrac{\pi}{6}$.
Используем табличное значение:
$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Выполняем умножение:
$6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$.

Ответ: 9.

Пример № 2

Реши уравнение:

$\arccos(2x-3) = \dfrac{\pi}{3}$.

Решение

Проверяем правую часть. Значение $\frac{\pi}{3}$ входит в промежуток значений арккосинуса $[0; \pi]$, значит, уравнение может иметь решение.
Используем определение арккосинуса. Если $\arccos a = b$, то $a = \cos b$. Получаем:
$2x-3 = \cos\dfrac{\pi}{3}$.
Находим значение косинуса:
$\cos\dfrac{\pi}{3} = 0{,}5$.
Решаем линейное уравнение:
$2x-3 = 0{,}5$;
$2x = 3{,}5$;
$x = 1{,}75$.
Проверяем аргумент арккосинуса:
$2 \cdot 1{,}75-3 = 0{,}5$.
Число $0{,}5$ входит в отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: 1,75.

Ловушки экзамена и типичные ошибки

Разберём основные ловушки, в которых чаще всего теряют баллы:

Ловушка прямого сокращения. Нельзя считать, что $\arcsin(\sin x)$ всегда равен $x$. Равенство $\arcsin(\sin x) = x$ верно только тогда, когда угол $x$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Например, $\arcsin(\sin 10) \neq 10$, так как угол $10$ радиан не попадает в главный промежуток арксинуса. В этом случае нужно по формулам приведения преобразовать аргумент синуса, чтобы он входил в этот промежуток: $\arcsin(\sin 10) = \arcsin(\sin (3\pi-10)) = 3\pi-10$.
Ловушка с минусом внутри. Нельзя выносить минус из-под арккосинуса так же, как из-под арксинуса. Ошибочна запись: $\arccos(-0{,}5) =-\arccos(0{,}5) =-\frac{\pi}{3}$. Правильное решение: $\arccos(-0{,}5) = \pi-\arccos(0{,}5) = \pi-\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Самопроверка

Перейдём к практике.

Задание № 1

Вычисли значения:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$\arctg(-1)$.
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Решение

Вынесем минус из арксинуса и найдём значение выражения:
$\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =-\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} =-\dfrac{\pi}{3}$.
Вынесем минус из арктангенса и найдём значение выражения:
$\arctg(-1) =-\arctg 1 =-\dfrac{\pi}{4}$.
Используем формулу для арккосинуса:
$\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \pi-\arccos\dfrac{1}{2} = \pi-\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.

Ответ: 1. $-\frac{\pi}{3}$; 2. $-\frac{\pi}{4}$; 3. $\frac{2\pi}{3}$.

Задание № 2

Найди значение: $\arccos(\cos 4)$.

Решение

Формула $\arccos(\cos x) = x$ здесь не работает, потому что угол $4$ радиана не попадает в отрезок $[0; \pi]$, так как $4 > \pi$.
Воспользуемся формулой $\cos x = \cos(2\pi-x)$:
$\arccos(\cos 4) = \arccos(\cos(2\pi-4))$.
Так как $2\pi-4 \in [0; \pi]$, можем воспользоваться $\arccos(\cos x) = x$:
$\arccos(\cos(2\pi-4)) = 2\pi-4$.

Ответ: $2\pi-4$.

Заключение

Обратные тригонометрические функции нужны, чтобы находить угол по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса. У каждой аркфункции есть своя главная ветвь, поэтому перед сокращением выражений нужно проверять допустимый промежуток. Арксинус и арктангенс позволяют вынести минус вперёд, а для арккосинуса и арккотангенса используется вычитание из $\pi$. На ЕГЭ чаще всего ошибаются именно в выражениях вида $\arcsin(\sin x)$ и $\arccos(\cos x)$, когда угол не попадает в нужные границы. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».