Введение
В демонстрационных вариантах/материалах для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня регулярно встречаются задания, требующие применения квадратных уравнений и неравенств для решения практических задач. Речь идёт о задании №9, где недостаточно просто найти корни уравнения — необходимо осмыслить полученные результаты с учётом условий задачи. В данной статье рассмотрены характерные примеры из сфер физики, экономики и техники.
Базовые математические инструменты:
- квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0
- квадратное неравенство: ax² + bx + c ≥ 0 (или ≤ 0)
Раздел 1: Физические модели
Задача 1.1: Контроль температуры нагревательного устройства.
Условие: Температурная зависимость нагревательного элемента от времени описывается формулой $T = T_₀ + bt + at²$, где t — временной интервал в минутах, $T_₀$ = 1450 K, a = −30 K/мин², b = 180 K/мин. При превышении температуры 1600 K возникает риск поломки прибора. Определите момент отключения устройства.
- Формирование уравнения
Критическому значению температуры соответствует уравнение:
1450 + 180t − 30t² = 1600 - Преобразование
После упрощения получаем:
−30t² + 180t − 150 = 0 → 30t² − 180t + 150 = 0 → t² − 6t + 5 = 0 - Вычисление корней
Дискриминант: D = 36 − 20 = 16
$t_₁ = 5, t_₂ = 1$ - Смысловая интерпретация
Наличие двух положительных корней указывает на двукратное достижение критической температуры: при нагреве (через 1 минуту) и при последующем охлаждении. Для предотвращения повреждения выбираем первый момент.
Ответ: 1 минута.
Методическая рекомендация:
При работе с квадратичными зависимостями, описывающими процессы с экстремумом, анализируй физический смысл каждого корня.
Задача 1.2: Анализ вертикального движения тела.
Условие: Траектория мяча описывается уравнением h(t) = 2 + 13t – 5t² (h — высота в метрах, t — время в секундах). Найдите продолжительность нахождения мяча на высоте от 8 метров и выше.
- Математическая модель
Формулируем неравенство: 2 + 13t − 5t² ≥ 8 - После преобразований:
−5t² + 13t – 6 ≥ 0 → 5t² – 13t + 6 ≤ 0 - Определение интервалов
Корни уравнения: $t_₁ = 2, t_₂ = 0,6$
Парабола направлена вверх, значит, неравенство выполняется на отрезке [0,6; 2] - Расчёт временного промежутка
Δt = 2 – 0,6 = 1,4
Ответ: 1,4 секунды.
Задача 1.3: Моделирование опорожнения резервуара.
Условие: Высота водяного столба в цилиндрическом баке изменяется по закону $H(t) = \frac{1}{588}t^2 – \frac{1}{7}t + 3$. Определите продолжительность полного опорожнения ёмкости.
- Уравнение для момента опустошения
$\frac{1}{588}t^2 – \frac{1}{7}t + 3 = 0$ - Устранение дробных коэффициентов
Умножаем на 588: t² – 84t + 1764 = 0 - Анализ дискриминанта
D = 7056 – 7056 = 0 → t = 42
Ответ: 42 минуты.
Задача 1.4: Расчёт тормозного пути.
Условие: Автомобиль тормозит с ускорением 3 м/с² при начальной скорости 24 м/с. По формуле $S = 24t − \frac{3t^2}{2}$ определите время прохождения 90 метров.
- Составление уравнения
$90 = 24t − \frac{3t^2}{2}$ - Приведение к стандартному виду
180 = 48t – 3t² → t² – 16t + 60 = 0 - Отбор физически осмысленного корня
$t_₁ = 10, t_₂ = 6$
Выбираем t = 6 (момент во время торможения)
Ответ: 6 секунд.
Раздел 2: Технико-экономические задачи
Задача 2.1: Расчёт работы лебёдочного механизма.
Условие: Угол поворота катушки лебёдки задан уравнением φ = 15t + 3t². Найдите время достижения угла 2250°.
- Математическая модель
2250 = 15t + 3t² - Решение квадратного уравнения
t² + 5t – 750 = 0 → t = 25 (отрицательный корень исключаем)
Ответ: 25 минут.
Задача 2.2: Определение оптимальной цены продукции.
Условие: Функция спроса: q = 120 – 10p, выручка: r = p(120 – 10p). Найдите максимальную цену, обеспечивающую выручку 320 тыс. руб.
- Формирование уравнения
320 = 120p – 10p² - Решение и выбор корня
p² – 12p + 32 = 0 → p₁ = 8, p₂ = 4
Выбираем p = 8
Ответ: 8 тыс. руб.
Стратегия успешного решения задач ЕГЭ
- Смысловой анализ — выяви искомую величину и физический смысл уравнения.
- Аккуратное преобразование — последовательно приводи уравнение к стандартному виду.
- Критическое осмысление результатов — отбрасывай нерелевантные корни.
- Контекстная проверка — учитывай ограничения (время > 0, цена > 0).
- Точность оформления — соблюдай требуемые единицы измерения.
Систематическая проработка задач из банка ФИПИ с акцентом на смысловую интерпретацию результатов обеспечит уверенное выполнение задания №9 на экзамене.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
