Отношения в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный треугольник — один из самых древних математических инструментов, решающих множество практических задач. Сколько же интересного можно в нём увидеть! Нам повезло, что мы можем решать задачи любого уровня сложности, используя его в качестве надёжного помощника.
Рассмотрим некий прямоугольный треугольник, который состоит из двух катетов, гипотенузы, одного прямого и двух острых углов.
А теперь возьмём и посчитаем все возможные отношения сторон друг к другу относительно углов и заметим, что для постоянной градусной меры эти отношения всегда принимают одно и то же значение независимо от величины сторон! Например, пусть ㄥА = 30°, тогда при любых AB, AC и BC:
- $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
- $\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}$
- $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Невероятно, но факт. И каждому из этих отношений дадим название.
Пусть для острого угла $\alpha$ в △ ABC AB = c, AC = b, BC = a. Где AB — гипотенуза, BC — противолежащий $\angle \alpha$ катет, а AC — прилежащий катет.
Тогда:
Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$.Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos \alpha = \frac{b}{c}$.Тангенсом острого угла называется отношение синуса к косинусу, из чего следует, что это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a}{b}$.Котангенсом острого угла называется отношение косинуса к синусу, из чего следует, что это отношение прилежащего катета к противолежащему:
$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{b}{a}$.
Тригонометрическая полуокружность
А теперь задумаемся: а только ли для острых углов можно вычислять данные отношения? Несколько веков назад над этим вопросом размышляли величайшие умы и придумали потрясающую модель — тригонометрическую окружность. Так как сегодня мы говорим о треугольниках, в которых углы измеряются от 0 до 180 градусов, то рассмотрим её половину — единичную полуокружность.
Почему именно единичную? Потому что так удобно. Точно так же как и в текстовых задачах, когда мы иногда принимаем путь или объём работы за единицу (целое) для удобства вычислений. Поэтому рассмотрим полуокружность с центром в начале системы координат и радиусом, равным единичке. Отправим по ней «бегать» точку М и остановим в произвольный момент. А теперь рассмотрим нашу точку М именно в системе координат M(x;y). И после несложных рассуждений выясним, что отрезки проекций данной точки на оси координат равны $OD = x = \cos \alpha$ , $MD = y = \sin \alpha$.
Точка может находиться также во второй четверти системы координат. Выполнить построение с помощью проекций мы сможем и в этом случае, поэтому для любого угла $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ синусом называется ордината точки M, а косинусом — абсцисса точки M. А так как координаты полуокружности находятся в диапазоне $−1 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$, то для углов треугольника справедливы равенства $−1 \le \cos \alpha \le 1, 0 \le \sin \alpha \le 1$.
Основное тригонометрическое тождество (ОТТ). Формулы приведения
По теореме Пифагора и с учётом информации выше мы получаем ОТТ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Благодаря ему мы можем связывать отношения между собой и выражать их друг через друга.
Примеры заданий
Пример 1. В треугольнике TKS угол S равен 90°, TS = 35, tg T = 1,4. Найдите KS.
Ответ: 49.
Пример 2. В треугольнике TAK угол K равен 90°, AK = $\sqrt{51}$, TA = 10. Найти cos T.
Ответ: 0,7.
Пример 3. В треугольнике CAS угол A равен 90°, CA = 7,2, sin C = 0,6. Найти CS.
Ответ: 9.
А что делать, если нужно вычислить значение тригонометрического отношения не в прямоугольном треугольнике? Есть несколько приёмов, которые ты можешь применить:
- Воспользоваться формулами приведения и выразить необходимое значение для любого угла $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$:
$\sin(180 − \alpha) = \sin \alpha$;
$\cos(180 − \alpha) = − \cos \alpha$;
$\sin(90 − \alpha) = \cos \alpha$;
$\cos(90 − \alpha) = \sin \alpha$. Опустить высоту и работать с получившимися прямоугольными треугольниками.
Пример 4. В тупоугольном треугольнике BAZ BZ = AZ = 100, BP — высота, ZP = 8. Найдите cos BZA.
Ответ: –0,08.
Иногда в задачах приходится работать с тригонометрическими соотношениями как с инструментом, помогающим найти неизвестный элемент.
Пример 5. В треугольнике NCO угол O равен 90°, NC = 20, tg N = $\frac{4}{3}$. Найти CO.
Ответ: 16.
Заключение
Существует множество задач и идей, в которых используются тригонометрические соотношения. Запомни важные моменты:
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов равны.
- В прямоугольном треугольнике с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.
При решении используй базовую таблицу значений для углов 30, 45 и 60 градусов, которую можно легко запомнить с помощью простого алгоритма записи (если ты ещё не знаешь его, то скорее присоединяйся к курсу по математике). А ещё — всегда выполняй построение треугольника и не забывай проверять, все ли элементы находятся на своих местах и соответствуют условию задачи.
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
