Введение
Задание № 22 — это твой финальный босс алгебры второй части ОГЭ по математике. Здесь проверяют, как ты умеешь не просто строить графики, но и анализировать их. Один из самых популярных вариантов — кусочно-заданные функции.
В этой статье мы разберём три конкретных примера из реальных вариантов ОГЭ. Ты увидишь, как работают линейные функции, параболы и гиперболы в составе одной функции, и научишься отвечать на главный вопрос: «При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки?».
Что такое кусочно-непрерывная функция
Это функция, которая «склеена» из нескольких кусочков (частей) разных функций. На разных промежутках числовой оси она ведёт себя по-разному.
Важно: главная сложность — границы. В условии всегда указано, при каких x работает та или иная формула. Обрати внимание на знаки неравенств:
- Если x < 3, точка x = 3 не входит в этот кусок (она будет выколота).
- Если 3 ≤ x, точка x = 3 входит в этот кусок (она будет закрашена).
Закономерности и советы
- Строй последовательно. Не пытайся нарисовать всё сразу. Построй сначала первый график на черновике, сотри лишнее (то, что вне его промежутка), затем второй и так далее.
- Проверяй границы. При построении всегда подставляй граничные значения x в функцию. Так ты найдешь координаты граничных значений (места «склейки» или разрыва). Обязательно проверь, должна точка быть закрашенной (принадлежит) или выколотой (не принадлежит).
- Анализируй горизонтальную прямую y = m. Представь, что ты проводишь по графику линейку строго горизонтально. m — это уровень, на котором находится эта линия. Вопрос задачи — на каких уровнях (m) эта линия пересечёт твой график ровно в двух местах.
Разбор задач. Примеры из ОГЭ
Задача 1. Три линейных куска
Условие
Постройте график функции
$y = \begin{cases} 2x − 2, \text{ если } x < 3 \\ −3x + 13, \text{ если } 3 \le x \le 4 \\ 1,5x − 7, \text{ если } x > 4 \end{cases}$
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Шаг 1. Строим первый кусок: y = 2x – 2 при x < 3
Это прямая. Найдём значение на границе: при x = 3, y = 4. Но так как x < 3, точка (3; 4) будет выколота.
Возьмём ещё одну точку: x = 0, y = -2.
Шаг 2. Строим второй кусок: y = -3x + 13 при 3 ≤ x ≤ 4
Это отрезок прямой.
- При x = 3: y = -9 + 13 = 4. Точка (3; 4) закрашена.
- При x = 4: y = -12 + 13 = 1. Точка (4; 1) закрашена.
Шаг 3. Строим третий кусок: y = 1,5x – 7 при x > 4
Это прямая. Смотрим границу: при x = 4, y = 6 – 7 = -1. Но x > 4, поэтому точка (4; -1) выколота.
Возьмём другую точку: x = 6, y = 9 – 7 = 2.
Шаг 4. Анализируем график (ищем m)
- Интервал -1 < m < 1: Возьмём, например, m = 0.
- Первый кусок: 2x – 2 = 0 → x = 1 (подходит, 1 < 3) — одна точка.
- Второй кусок: -3x + 13 = 0 → x = $\frac{13}{3}$ ≈ 4,33 — не подходит (должен быть от 3 до 4). Значит, на втором куске пересечений нет.
- Третий кусок: 1,5x – 7 = 0 → x = $\frac{7}{1,5} = \frac{14}{3}$ ≈ 4,67 (подходит, x > 4) – одна точка.
- Итого: 2 точки. Весь интервал (-1; 1) подходит.
- m = 4:
- Первый кусок: 2x – 2 = 4 → x = 3 — не подходит, так как x < 3. Пересечения нет.
- Второй кусок: -3x + 13 = 4 → -3x = -9 → x = 3 — подходит (закрашенная точка) — одна точка.
- Третий кусок: 1,5x – 7 = 4 → 1,5x = 11 → x = $\frac{22}{3}$ ≈ 7,33 (подходит) — вторая точка.
- Итого 2 точки. Подходит.
- Проверим границы:
- m = -1: третий кусок дает x = 4 (выколотая) — не считается, первый кусок дает x = 0,5 — одна точка, второй кусок -3x + 13 = -1 → x= $\frac{14}{3}$ — не подходит. Итого 1 точка.
- m = 1: второй кусок дает x = 4 (закрашенная) — одна точка, третий кусок 1,5x – 7 = 1 → x = $\frac{16}{3}$ ≈ 5,33 — вторая точка, первый кусок 2x – 2 = 1 → x = 1,5 — третья точка. Итого 3 точки.
Ответ: m ∈ (-1; 1) ∪ {4}.
Задача 2. Парабола и прямая
Условие
Постройте график функции
$y = \begin{cases} x^2 − 6x + 11, \text{ если } x \ge 2 \\ x + 3, \text{ если } x < 2 \end{cases}$
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Шаг 1. Строим первый кусок: y = x² – 6x + 11 при x ≥ 2
Это парабола, ветви вверх.
- Вершина: $x_0 = \frac{−b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$, $y_0 = 9 − 18 + 11 = 2$. Точка (3; 2).
- Граница: при x = 2, y = 4 – 12 + 11 = 3. Точка (2; 3) закрашена.
- Дополнительно:
x = 4, y = 16 – 24 + 11 = 3;
x = 5, y = 25 – 30 + 11 = 6.
Шаг 2. Строим второй кусок: y = x + 3 при x < 2
Это прямая.
- Граница: при x = 2, y = 5. Но x < 2, поэтому точка (2; 5) выколота.
- Другая точка: x = 0, y = 3.
Шаг 3. Анализируем график (ищем m)
- m = 2:
- Парабола: x² – 6x + 11 = 2 → x² – 6x + 9 = 0 → (x-3)² = 0 → x = 3 — одна точка.
- Прямая: x + 3 = 2 → x = -1 (подходит, -1 < 2) — вторая точка.
- Итого 2 точки. Подходит.
- Интервал 3 < m < 5: возьмём m = 4.
- Парабола: x² – 6x + 11 = 4 → x² – 6x + 7 = 0. Дискриминант положительный (36 – 28 = 8), корни: x = 3 ± √2 ≈ 1,59 и 4,41. 3 – √2 ≈ 1,59 — не подходит (x ≥ 2), 3 + √2 ≈ 4,41 — подходит. На параболе одна точка.
- Прямая: x + 3 = 4 → x = 1 (подходит) — одна точка.
- Итого 2 точки. Весь интервал подходит.
- Проверим границы:
- m = 3: парабола даёт x = 2 и x = 4 (две точки), прямая даёт x = 0 (одна точка) → всего 3 точки.
- m = 5: парабола даёт один корень (первый будет x ≈ 4,7, второй корень меньше 2), прямая даёт x = 2 (выколота) → всего 1 точка.
Ответ: m ∈ (3; 5) ∪ {2}.
Задача 3. Парабола и гипербола
Условие
Постройте график функции
$y = \begin{cases} x^2 − 2x + 1, \text{ если } x \ge −2 \\ −\frac{18}{x}, \text{ если } x < −2 \end{cases}$
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Шаг 1. Строим первый кусок: y = x² – 2x + 1 при x ≥ -2
Заметим, что y = (x-1)². Ветви вверх.
- Вершина: $x_0 = \frac{−b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$, $y_0 = 1 − 2 + 1 = 0$. Точка (1; 0).
- Граница: при x = -2, y = (-2-1)² = 9. Точка (-2; 9) закрашена.
- Дополнительно:
x = -1, y = 4;
x = 0, y = 1.
Шаг 2. Строим второй кусок: $y = \frac{−18}{x}$ при x < -2
Это гипербола. Нас интересует левая ветка (x < 0).
- Граница: при $x = −2$, $y = \frac{−18}{−2} = 9$. Но x < -2, поэтому точка (-2; 9) выколота.
- Дополнительно:
x = -3, y = 6;
x = -6, y = 3;
x = -9, y = 2;
x = -4, y = 4,5.
Шаг 3. Анализируем график (ищем m)
- m = 9:
- Парабола: (x-1)² = 9 → x-1 = ±3 → x = 4 и x = -2. Обе точки подходят (x ≥ -2). На параболе две точки.
- Гипербола: имеет выколотую точку (-2; 9), но она не считается. Пересечений с гиперболой нет.
- Итого 2 точки. Подходит.
- Другие значения m:
- При 0 < m < 1: парабола даёт две точки (ветви слева и справа от вершины), гипербола даёт одну точку → 3 точки.
- При 1 < m < 4: парабола даёт две точки, гипербола даёт одну точку → 3 точки.
- При 4 < m < 9: парабола даёт две точки, гипербола даёт одну точку → 3 точки.
- При m > 9: парабола даёт одну точку (второй корень меньше -2, не подходит), гипербола не пересекает (так как $y = \frac{−18}{x}$ при x < -2 даёт y < 9) → 1 точка.
При m = 0: парабола даёт одну точку (вершина), гипербола не пересекает → 1 точка. - При m < 0: парабола не пересекает (ветви вверх, минимум 0). Гипербола также не пересекает график. При m < 0, $\frac{−18}{x}$ = m → $x = \frac{−18}{m}$. Если m < 0, то x > 0, а это не подходит (x < -2). Значит, пересечений нет. Итого 0 точек.
Таким образом, единственное значение, дающее ровно две точки, — m = 9.
Ответ: m = 9.
Типичные ошибки и как их избежать
Ошибка 1: забываешь про выколотые точки.
Как избежать: всегда подставляй граничное значение x в обе функции и смотри на знак неравенства. Рисуй точку закрашенным кружком, если ≤ или ≥, и пустым, если < или >.
Ошибка 2: путаешь, где чей график.
Как избежать: подпиши на черновике, какому промежутку соответствует каждая линия. Штрихуй или стирай ластиком части графика, которые не входят в нужный промежуток.
Ошибка 3: не проверяешь границы интервалов m.
Как избежать: когда получаешь интервал, например (3;5), всегда проверь отдельно m = 3 и m = 5. Часто они не подходят, потому что добавляется лишняя точка или точка становится выколотой.
Ошибка 4: забываешь про вершину параболы.
Как избежать: вершина часто даёт отдельное значение m, как в задаче 2 (m = 2).
Заключение
Теперь ты умеешь:
- Строить сложные графики, «склеенные» из кусочков.
- Правильно оформлять граничные точки (закрашенные/выколотые).
- Анализировать расположение горизонтальной прямой y = m.
- Находить все значения параметра m, при которых условие задачи выполняется.
Ты можешь решить задание № 22 на ОГЭ и получить заветные 2 балла за самую сложную часть экзамена. Главное — внимательность и тренировка. Строй графики на черновике аккуратно, и ответ обязательно найдётся.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
