Основные понятия
Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с центром стороны напротив.
Биссектриса — линия, которая делит угол фигуры на две равные части.
Важные особенности биссектрисы
1. Основное правило для внутренней биссектрисы
Биссектриса угла в треугольнике разделяет противоположную сторону на части, которые соотносятся так же, как и соседние стороны.
Соотношение:
$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$, где AL — биссектриса угла.
Разбор примера:
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно: AB = 8, AC = 12.
Определить отношение BL:LC.
Решение:
$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
2. Особенность биссектрисы внешнего угла
Если продлить сторону треугольника и провести биссектрису внешнего угла, точка её пересечения с продолжением противоположной стороны будет делить отрезок пропорционально боковым сторонам.
Соотношение:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
Разбор примера:
В треугольнике EFG: EF = 4, EG = 10, FG = 7. Биссектриса внешнего угла при E встречает продолжение FG в точке K. Найти FK.
Решение:
$\frac{FK}{KG} = \frac{EF}{EG} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Обозначим FK = t. Так как EF < EG, точка K расположена на продолжении за F, поэтому KG = FG + FK = 7 + t.
Составляем уравнение: $\frac{t}{7+t} = \frac{2}{5}$.
После преобразований: 5t = 14 + 2t, 3t = 14, t = $\frac{14}{3}$.
$FK = t = \frac{14}{3}$
3. Соотношение площадей
Биссектриса разделяет треугольник на две фигуры, площади которых относятся как длины прилегающих к вершине сторон.
Соотношение:
$\frac{S_{ABL}}{S_{ALC}} = \frac{AB}{AC}$
Разбор примера:
Известно, что биссектриса AL делит площадь треугольника ABC в пропорции 4:7.
Определить AB:AC.
Решение:
$\frac{S_{ABL}}{S_{ALC}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{7}$
Особенности медианы
1. Главное свойство медианы
Медиана разделяет треугольник на две фигуры с одинаковой площадью.
Разбор примера:
В треугольнике XYZ проведена медиана YW к стороне XZ.
Показать, что $S_{XYW} = S_{ZYW}$.
Объяснение:
У треугольников XYW и ZYW ощая высота, опущенная из Y, и равные основания XW и WZ (поскольку W — середина). Следовательно, их площади равны.
2. Расчёт длины медианы
Длину медианы можно вычислить, зная длины всех сторон фигуры.
Формула:
$m_a = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2b^2 + 2c^2 − a^2}$, где $m_a$ — медиана к стороне a.
Разбор примера:
В треугольнике PQR: PQ = 5, PR = 8, QR = 7.
Вычислить длину медианы PM.
Решение:
$m = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 5^2 − 7^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{128 + 50 − 49} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{129} = \frac{\sqrt{129}}{2}$
3. Центр пересечения медиан
Все три медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести. Эта точка делит каждую медиану в пропорции 2:1 от вершины.
Соотношение:
$AO:OA_1$ = 2:1, где O — точка пересечения, $A_1$ — середина стороны.
Разбор примера:
В треугольнике KLM медианы пересекаются в точке O.
Определить, какую часть от всей площади составляет $S_{KOL}$.
Объяснение:
Медианы делят треугольник на 6 одинаковых по площади частей. Фигура KOL состоит из двух таких частей, а весь треугольник — из шести. Значит, $\frac{S_{KOL}}{S_{KLM}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Задачи повышенной сложности
1. Взаимодействие биссектрисы и подобия
В треугольнике ABC отмечена точка D на BC так, что AB = BD. BF — биссектриса угла ABC. Из C на AD опущен перпендикуляр CK. Доказать равенство отношений: AB:BC = AE:EK (где E — точка пересечения BF и AD).
Ход решения:
Согласно свойству биссектрисы, $\frac{AB}{BC} = \frac{AF}{FC}$.
Треугольник ABD равнобедренный, поэтому BF в нём является и высотой, и медианой, то есть BE ⟂ AD.
В треугольниках AEF и AKC угол A общий, а углы AEF и AKC прямые (по построению). Значит, эти треугольники подобны.
Из подобия получаем: $\frac{AE}{AK} = \frac{AF}{AC}$, что равносильно $\frac{AE}{EK} = \frac{AF}{FC}$. Сопоставляя с первым равенством, приходим к требуемому: $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EK}$.
2. Биссектриса и параллельные прямые
Точка D отмечена на продолжении AC за A так, что AD = AB. Через A проведена прямая, параллельная BD, которая пересекает BC в M.
а) Установить, что AM — биссектриса.
б) Вычислить $S_{DAMB}$, если AC = 30, BC = 18, AB = 24.
Решение части а):
AD = AB, значит, треугольник ABD равнобедренный, и ∠ABD = ∠ADB. Поскольку AM || BD, то ∠BAM = ∠ABD (как накрест лежащие) и ∠CAM = ∠ADB (как соответственные). Получаем цепочку: ∠BAM = ∠ABD = ∠ADB = ∠CAM. Таким образом, ∠BAM = ∠CAM, и AM действительно является биссектрисой.
Решение части б):
Проверим треугольник ABC:
24² + 18² = 576+324=900, 30² = 900.
Это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Для биссектрисы AM справедливо:
$\frac{CM}{MB} = \frac{AC}{AB} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}$
Пусть CM = 5k, MB = 4k, тогда BC = 9k = 18, откуда k = 2. Получаем CM = 10, MB = 8.
Площадь AMB: $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 8 = 96$.
Для треугольника DAB: стороны AD = AB = 24, угол DAB смежен с углом CAB, поэтому $\sin(\angle DAB) = \sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.
Площадь DAB: $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 24 \cdot \frac{3}{5} = 288 \cdot \frac{3}{5} = 172.8$.
Общая площадь фигуры: 96+172,8 = 268,8.
Ответ: 268,8.
3. Медианы катетов и высота в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C — прямой) M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота. Установить, что MH ⟂ NH.
Ход доказательства:
Рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и BHC. В треугольнике AHC медиана HM, проведённая из прямого угла H, равна половине гипотенузы AC:
$HM = \frac{AC}{2} = AM = MC$
Аналогично в треугольнике BHC:
$HN = \frac{BC}{2} = CN = NB$
Теперь обратимся к треугольникам MCN и MHN. В них: MC = MH, CN = NH, а сторона MN — общая. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
Из равенства фигур следует равенство соответствующих углов: ∠MCN = ∠MHN. Но ∠MCN — это угол ACB, который по условию равен 90°. Значит, ∠MHN также равен 90°, что и означает перпендикулярность отрезков MH и NH.
Подход к решению трудных задач
Для успешного решения сложных планиметрических заданий необходимо тщательно фиксировать на чертеже все равные элементы: углы, полученные при пересечении прямых, углы в равнобедренных треугольниках, соответственные и накрест лежащие углы при параллельных. Поиск подобных треугольников часто открывает путь к нахождению нужных пропорций.
В одной задаче могут сочетаться несколько фактов: теорема о биссектрисе, признаки подобия, свойства медиан, а также теоремы Менелая и Чевы. Работа с площадями — ещё один действенный приём: если у двух треугольников общая высота, отношение их площадей совпадает с отношением оснований.
План действий
- Вдумчиво изучить условие, подчеркнуть все данные.
- Выполнить аккуратный чертёж с обозначением точек.
- Выписать все обнаруженные равенства углов и отрезков.
- Определить, какие теоремы и свойства можно задействовать.
- Построить последовательную цепочку рассуждений.
- Ввести параметры для упрощения вычислений.
Итог
Постепенное освоение свойств медиан и биссектрис — от элементарных случаев к комплексным комбинациям — помогает выработать прочные навыки для решения геометрических задач на экзамене. Постоянная тренировка с упражнениями разной трудности учит распознавать в сложном чертеже знакомые закономерности и комбинировать известные факты — это необходимо для достижения высокого результата на ЕГЭ.
Автор:
Доброва Дарья, методист “100балльного репетитора” по математике ОГЭ/10 класса
