Введение
Одна из призрачных тем школьного курса геометрии, которая вроде изучалась, но воспоминания о ней просто испаряются. Они появились в физике, а потом как снег на голову в ЕГЭ под номером 2. Да, мы начинаем вспоминать векторы.
Что такое вектор?
Вектор — направленный отрезок, у которого заданы начало и конец.
И их очень важно соблюдать. Например, вектор $ \vec{AB} $ имеет начало в точке А и конец в точке В.
Если поменять их местами, то мы получим новый вектор $ \vec{BA} $. Почему так? Потому что это не просто отрезок, у него есть направление, которое задаётся однозначно. Это как изобразить на схеме перемещение из дома в школу, а затем из школы домой. Всё же разные вещи.
Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым. Обозначается так: $ \vec{0} $.
Векторы, по аналогии с обычными отрезками, записываются чаще всего буквами начала и конца, как мы уже использовали в примере $ \vec{AB} $. Иногда вектор обозначают маленькой латинской буквой, например, $ \vec{a} $.
Также вектор имеет длину, которая выражается числом, и равна она длине соответствующего ему отрезка. Часто длину называют «модуль вектора» и обозначают вот так: $ \lvert \overrightarrow{AB} \rvert $.
Коллинеарность векторов. Равные векторы
Если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то они называются коллинеарными.
Представь два поезда, идущих по параллельным железнодорожным путям: если они едут в одну сторону (схематично это векторы с одинаковым направлением), то назовём их «сонаправленные». А вот если в разные стороны — «противоположно направленные».
Обозначается это так:
$a \parallel b$ — «вектор a коллинеарен вектору b»
$\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ — «вектор a сонаправлен вектору b»
$\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ — «вектор a противоположно направлен вектору b»
Для удобства соберём все данные в схему:
Отложить вектор можно от любой точки на плоскости. Более того, если представить его на экране компьютера, скопировать его и просто поместить в любое место на полотне экрана (не меняя направление), то мы получим вектор равный данному $\vec{a} = \vec{b}$
Но как определить, что векторы равны? Для этого должно выполняться 2 условия:
- они сонаправлены;
- они имеют одинаковую длину.
По факту мы совершили параллельный перенос вектора $\vec{a}$ и таким образом построили новый равный ему $\vec{b}$
Векторы на координатной плоскости. Координаты вектора
Мы уже знаем, что векторы можно отложить где и как угодно. Чтобы как-то этот процесс систематизировать, мы поместим их на координатную плоскость. Теперь векторы на плоскости будут иметь координаты, что в дальнейшем позволит нам выполнять действия с ними.
Чтобы вычислить координаты вектора, необходимо его «копию» поместить в начало координат таким образом, чтобы его начало исходило из точки О (0;0), а конец находился в некоторой точке плоскости с координатами (x;y).
Рассмотрим снова наш вектор $ \vec{AB} $ и построим его так, чтобы точка А совпала с точкой О.
В таком случае, координаты вектора будут равны координате точки конца В(x;y). В данном примере $ \vec{AB} \{5;\,3\} $.
Обрати внимание на скобки, именно в таких фигурных скобках и записываются координаты вектора.
А как определить координаты, если вектор расположен где-то в произвольной части координатной плоскости, и мы не хотим его перемещать в начало системы координат? Или нам известны координаты точек начала и конца вектора, но нет его изображения? В этом случае на помощь приходит формула:
Если $A(x_1, y_1),\; B(x_2, y_2)$, то $\overrightarrow{AB} = \{x_2 – x_1;\; y_2 – y_1\}$, то есть из координат конца мы вычитаем координаты начала вектора.
Пример 1. Вычисли координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если $A(2, 0),\; B(3, 5)$.
По формуле $\overrightarrow{AB} = \{x_2 – x_1;\; y_2 – y_1\}$ получаем, что $\overrightarrow{AB} = \{3 – 2;\; 5 – 0\}$ = $\{1;\; 5\}$
Ответ: $\overrightarrow{AB} = \{1;\; 5\}$.
Пример 2. Найди координаты векторов, изображённых на рисунке.
По формуле $\overrightarrow{AB} = \{x_2 – x_1;\; y_2 – y_1\}$ получаем:
$\vec{a} = \{4 – 0;\; 1 – 0\} = \{4;\; 1\}$
$\vec{b} = \{2 – (-1);\; 1 – 3\} = \{3;\; -2\}$
$\vec{c} = \{-2 – (-1);\; 2 – (-2)\} = \{-1;\; 4\}$
$\vec{d} = \{3 – 1;\; 1 – (-3)\} = \{2;\; 2\}$
Ответ: $\vec{a} = \{4;\; 1\},\; \vec{b} = \{3;\; -2\},\; \vec{c} = \{-1;\; 4\},\; \vec{d} = \{2;\; 2\}$
О коллинеарности векторов координаты тоже могут многое нам рассказать.
Например, если их координаты пропорциональны (отличаются в одно и то же количество раз), то они коллинеарны. А если координаты противоположны (отличаются знаком) и пропорциональны, то можно утверждать, что они противоположно направлены.
Пример 3. Выбери пары коллинеарных векторов и укажи, сонаправлены они или противоположно направлены.
- $\vec{a}\{1;\,3\}$ и $\vec{b}\{-1;\,-3\}$;
- $\vec{c}\{-1;\,5\}$ и $\vec{d}\{5;\,-1\}$;
- $\vec{e}\{-2;\,3\}$ и $\vec{f}\{-4;\,6\}$;
- $\vec{m}\{-6;\,-2\}$ и $\vec{k}\{3;\,-1\}$.
- $\vec{a}\{1;\,3\} \uparrow\downarrow \vec{b}\{-1;\,-3\}$
- $\vec{c}\{-1;\,5\}$ и $\vec{d}\{5;\,-1\}$ не коллинеарны;
- $\vec{e}\{-2;\,3\} \uparrow\uparrow \vec{f}\{-4;\,6\}$;
- $\vec{m}\{-6;\,-2\}$ и $\vec{k}\{3;\,-1\}$ не коллинеарны.
Ответ: 1, 3
Пример 4. Векторы $\vec{e}\{2;\, y\}$ и $\vec{f}\{4;\, 8\}$ коллинеарны. Определи, чему равно значение y.
Так как векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Найдём коэффициент пропорциональности с помощью координат «по икс»: 4:2 = 2. Это значит, что координаты должны отличаться ровно в два раза y = 8:2 = 4.
Ответ: 4
Длина вектора
Как видишь, много информации о векторе можно получить даже без изображения его на плоскости, а благодаря только координатам. Важное понятие, о котором мы говорили ранее, длина вектора, также вычисляется по координатам с помощью формулы.
Если $\overrightarrow{AB}\{x;\, y\}$, то $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Да-да, как гипотенуза по теореме Пифагора.
Если $A(x_{1},y_{1})$ и $B(x_{2},y_{2})$, то $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
Пример 5. Найди длину вектора, изображённого на рисунке
Если $A(-5;\,2)$ и $B(3;\,-4)$, то
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(3-(-5))^{2}+(-4-2)^{2}}=\sqrt{64+36}=10.$
Ответ: 10.
Заключение
Вот такой большой объём информации, который нужно запомнить и не путать, потому что это база, без которой никак не справиться. Постарайся закрепить данную тему на практике и двигайся дальше, ведь впереди действия над векторами, которые тоже встретятся тебе во втором задании профиля.
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
