Введение
Взрыв снаряда, прыжок с движущихся санок или запуск ракеты в космос — во всех этих ситуациях действует один и тот же фундаментальный закон природы: закон сохранения импульса. Он позволяет понять, как и почему изменяется движение тел при взаимодействии, и даёт мощный инструмент для решения самых разных задач — от школьных примеров до космических полётов.
Как импульс сохраняется и почему это работает в любых взаимодействиях тел
Импульс (p) — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость.
$\vec{p} = m \vec{v}$
Импульс тела всегда сонаправлен скорости и измеряется в $\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Замкнутая система тел — это система, в которой тела взаимодействуют только друг с другом. Пример такой системы — ракета и космонавт, которые находятся в космосе вдали от всех планет. При взаимодействии человека и космического аппарата никакие другие силы кроме сил тяготения на систему не действуют.
- Внутренние силы — силы взаимодействия между телами замкнутой системы.
- Внешние силы — силы, в отсутствии которых система была бы замкнутой.
Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что на материальную точку, находящуюся в инерциальной системе отсчёта, действует сила F:
$\vec{F} = m \vec{a}$
По определению ускорения:
$\vec{a} = \frac{\vec{v}_{\text{к}} − \vec{v}_{\text{н}}}{t}$
Подставим ускорение во второй закон Ньютона:
$\vec{F} = m \frac{\vec{v}_{\text{к}} − \vec{v}_{\text{н}}}{t}$
Выполним преобразования и получим формулу импульса силы:
$\vec{F} \cdot t = \Delta \vec{p}$
Таким образом, если к телу приложить силу, равную 0, то изменение импульса со временем будет отсутствовать. Следовательно, тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью.
Рассмотрим случай, в котором два тела, которые находятся в замкнутой системе и обладают разной массой, взаимодействуют друг с другом:
В процессе удара на каждое тело действует сила:
По третьему закону Ньютона:
$\vec{F}_{12} = − \vec{F}_{21}$
После столкновения скорости тел изменятся:
Следует уточнить, что направления скоростей могут быть отличны от рисунка, всё зависит от масс тел и от модуля их скоростей. В случае если направление конечных скоростей выбраны неверно, их проекции будут иметь отрицательные значения.
Распишем импульс силы, действующей на первое и второе тело:
$\vec{F}_{12} \cdot t = m_1 \vec{v’}_1 − m_1 \vec{v}_1$
$m_1 \vec{v’}_1 = \vec{p}_{\text{к}1}$
$m_1 \vec{v}_1 = \vec{p}_{\text{н}1}$
$\vec{F}_{21} \cdot t = m_2 \vec{v’}_2 − m_2 \vec{v}_2$
$m_2 \vec{v’}_2 = \vec{p}_{\text{к}2}$
$m_2 \vec{v}_2 = \vec{p}_{\text{н}2}$
Получим:
$\vec{F}_{12} \cdot t = \vec{p}_{\text{к}1} − \vec{p}_{\text{н}1}$
$\vec{F}_{21} \cdot t = \vec{p}_{\text{к}2} − \vec{p}_{\text{н}2}$
Сложим полученные уравнения:
$(\vec{F}_{12} + \vec{F}_{21}) \cdot t = \vec{p}_{\text{к}2} − \vec{p}_{\text{н}2} + \vec{p}_{\text{к}1} − \vec{p}_{\text{н}1}$
Так как по третьему закону Ньютона сумма сил равна нулю, то:
$\vec{p}_{\text{к}2} − \vec{p}_{\text{н}2} + \vec{p}_{\text{к}1} − \vec{p}_{\text{н}1} = 0$.
Перенесём все начальные импульсы в одну сторону, а конечные в другую. Получим запись закона сохранения импульса:
$\vec{p}_{\text{н}1} + \vec{p}_{\text{н}2} = \vec{p}_{\text{к}1} + \vec{p}_{\text{к}2}$
Стоит отметить, что данный закон будет выполняться для любого количества тел замкнутой системы. Тогда уравнение примет вид:
$\vec{p}_{\text{н}1} + \vec{p}_{\text{н}2} + \dots + \vec{p}_{\text{н}n} = \vec{p}_{\text{к}1} + \vec{p}_{\text{к}2} + \dots + \vec{p}_{\text{к}n}$
Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчёта для материальных точек суммарный импульс замкнутой системы остаётся постоянным.
Границы применимости закона сохранения импульса
Довольно часто при решении задач можно пользоваться законом сохранения импульса, даже при наличии внешних сил. Рассмотрим возможные ситуации:
Действие внешних сил на замкнутую систему скомпенсировано.
В качестве примера рассмотрим два тела, движущиеся по горизонтальной поверхности без трения. Внешние силы, которые действуют на тела, — сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$.
Силы скомпенсированы, значит, в данном случае можно использовать закон сохранения импульса.Внешние силы гораздо меньше внутренних (характерно для быстрых процессов).
Рассмотрим летящий снаряд, который в результате взрыва разорвался на две части.
За малый промежуток времени взрыва импульс осколков меняется на конечную величину. Значит, силы отталкивания кусков снаряда в момент взрыва должны принимать большие значения. При условии, что сила тяжести также является конечной величиной, видим, что её действием по сравнению с внутренними силами $\vec{F}_{12}$ и $\vec{F}_{21}$ можно пренебречь.Проекция внешних сил на определённую ось равна нулю.
Если в тележку, движущуюся без трения по горизонтальной плоскости, бросить шар под углом к горизонту, то закон сохранения импульса на ось OY не выполняется, однако по оси OX действие внешних сил отсутствует. Таким образом, можно использовать закон сохранения импульса в проекцию на ось ОХ.
Примеры решения задач
Задание 1
Определите, какой из векторов (1, 2, 3 или 4) изображает импульс одного из осколков $p_1$, образовавшихся при разрыве снаряда с импульсом $p_0$ в точке А, если импульс второго осколка равен $p_2$.
Начальный импульс должен равняться векторной сумме конечных импульсов:
$\overline{p}_0 = \overline{p}_1 + \overline{p}_2$.
По правилу параллелограмма импульс $p_1$ должен иметь направление, которое соответствует цифре 4.
Ответ: 4.
Задание 2
На санках массой 15 кг, движущихся по горизонтальной поверхности гладкого льда со скоростью 2 м/с, едет мальчик массой 45 кг. Определите модуль скорости санок после того, как мальчик спрыгнет с них со скоростью 3 м/с в направлении первоначального движения санок. Ответ выразите в метрах на секунду.
Дано:
$m = 15 \text{ кг}$.
$v_{\text{н}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
$m_{\text{м}} = 45 \text{ кг}$.
$v_{\text{м}} = 3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Запишем закон сохранения импульса на ось X:
$Ox: (m_{\text{с}} + m_{\text{м}}) \cdot v_{\text{н}} = m_{\text{м}} v_{\text{м}} + m_{\text{с}} v_{\text{с}}$
$v_{\text{с}} = \frac{(m_{\text{с}} + m_{\text{м}}) \cdot v_{\text{н}} − m_{\text{м}} v_{\text{м}}}{m_{\text{с}}} = \frac{(15 + 45) \cdot 2 − 45 \cdot 3}{15} = − 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_{\text{с}} = − 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Значит, санки движутся влево, и модуль скорости равен:
$|\overline{v}_{\text{с}}| = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Ответ: 1 м/с.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
