Введение
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — одна из ключевых задач кинематики. Оно описывает траектории мячей, снарядов и любых объектов, движущихся под действием силы тяжести.
В этой теме важно уметь разложить движение на две независимые составляющие и вывести основные характеристики полёта: время подъёма, максимальную высоту и дальность полёта. В этой статье разберём базовую теорию и получим все необходимые формулы.
Основные понятия
Свободное падение — это равноускоренное движение тела в поле силы тяжести, при котором внешние силы пренебрежимо малы или отсутствуют.
Баллистика — раздел механики, изучающий движение тел в поле силы тяжести.
Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Его принято считать равным 9,80665 м/с², однако на ЕГЭ в справочных материалах используется g = 10 м/с².
Постановка задачи
Чтобы понять тему, разберём четыре типовых задачи на вывод формул. В каждой из них задана определённая ситуация и указаны величины, которые необходимо найти.
Тело брошено под углом со скоростью v₀. Ускорение свободного падения — g. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите время подъёма, максимальную высоту, время полёта и дальность полёта.
Разбор
Введём оси OX и OY через рисунок:
Найдём проекции скорости тела на оси в момент броска. Для этого используем тригонометрические функции.
Так как косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, в нашем случае это отношение проекции начальной скорости на ось OX к начальной скорости v₀:
$\cos\alpha = \frac{v_{0x}}{v_0} \;\Rightarrow\; v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha$
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть отношение проекции начальной скорости на ось OY к начальной скорости v₀:
$\sin\alpha = \frac{v_{0y}}{v_0} \;\Rightarrow\; v_{0y} = v_0 \cdot \sin\alpha$
Запишем уравнения координат и скоростей:
$x = x_0 + v_{0x}\, t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}$
$v_x = v_{0x} + a_x \cdot t$
$y = y_0 + v_{0y}\, t + \frac{a_y \cdot t^2}{2}$
$v_y = v_{0y} + a_y \cdot t$
Ось Х: начальная координата по горизонтали равна нулю, проекция ускорения по оси OХ отсутствует.
Ось Y: начальная координата по вертикали равна нулю, так как тело брошено с земли. Проекция ускорения тела на ось OY равна -g.
$x = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t$
$v_x = v_0 \cdot \cos\alpha$
$y = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t − \frac{g \cdot t^2}{2}$
$v_y = v_0 \cdot\sin\alpha − g \cdot t$
В точке B тело уже не поднимается и ещё не начало опускаться, значит проекция скорости на ось OY равна нулю, а по оси OХ останется той же и будет равна $v_{OX}$.
Подставим значение $v_{OY}$ в уравнение скорости $v_Y$:$0 = v_0 \cdot \sin\alpha − g \cdot t_B$
Выполним преобразования и выразим $t_B$:
$t_B = \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$
Теперь распишем координату у для максимальной высоты подъёма:
$h = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g} − \frac{g}{2} \left( \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g} \right)^2$
$h = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2\alpha}{2g}$
В точке С координата y равна нулю:
$y_C = 0 \;\Rightarrow\; 0 = v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t_C − \frac{g \cdot t_C^2}{2}$
Вынесем $t_С$ за скобку:
$t_C \left( v_0 \cdot \sin\alpha − \frac{g \cdot t_C}{2} \right) = 0$
При $t_С = 0$ тело находится в начале координат. Так как нам нужен момент падения, то приравняем к нулю полученное выражение в скобке:
$v_0 \cdot \sin\alpha − \frac{g \cdot t_C}{2} = 0$
$v_0 \cdot \sin\alpha = \frac{g \cdot t_C}{2}$
$t_C = \frac{2 v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$
Обрати внимание на формулу подъёма до точки В. Сравнивая её с формулой полного времени полёта, можно сделать вывод, что время полёта в два раза больше времени подъёма:
$t_C = 2t_B$
В данной задаче это выводится из симметрии движения: время подъёма равно времени падения.
Чтобы найти дальность полёта, нужно подставить в уравнение для координаты x время $t_С$ и l вместо координаты x:
$l = v_0 \cdot \cos\alpha \cdot t_C = v_0 \cdot \cos\alpha \cdot \frac{2 v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$
$l = \frac{v_0^2 \cdot 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha}{g}$
По формуле синуса двойного угла:
$2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin 2\alpha$
Подставим в формулу дальности полёта:
$l = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g}$
Итог
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, сводится к двум независимым движениям: равномерному по горизонтали и равноускоренному по вертикали.
Именно это позволяет вывести универсальные формулы для времени полёта, высоты и дальности.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
