Когда ты заходишь в бассейн, тело становится легче — это действует выталкивающая сила. Одни предметы сразу идут ко дну, другие плавают на поверхности, а третьи зависают внутри жидкости. От чего это зависит? Сейчас разберём главную формулу, условие плавания и закрепим всё на шести реальных задачках.
Как появляется выталкивающая сила
Представим брусок, погружённый в сосуд с жидкостью. На все грани бруска действует как атмосферное, так и гидростатическое давление. Рассмотрим верхнюю и нижнюю грани бруска, площади которых равны $S$. Пусть верхняя грань находится на глубине $y_С$, а нижняя на глубине $y_В$. Глубина отсчитывается от поверхности воды. Силы, действующие на боковые грани, можно не учитывать, так как они равны по модулю и противоположны по направлению, то есть их действие скомпенсировано.
Найдём давление на верхнюю и нижнюю грани, атмосферное давление обозначим $p_0$:
$p_c = p_0 + \rho_ж g y_c$
$p_b = p_0 + \rho_ж g y_b$
Тогда силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю грани, равны соответственно:
$F_c = p_c S = p_0 S + \rho_ж g S y_c$
$F_b = p_b S = p_0 S + \rho_ж g S y_b$
Так как столб жидкости, действующий на нижнюю грань, больше, то и сила давления, действующая на нижнюю грань бруска, больше силы давления, действующей на верхнюю грань.
Найдём разность сил давления на верхнюю и нижнюю грани:
$F_b - F_c = p_0 S + \rho_ж g S y_b - (p_0 S - \rho_ж g S y_c) = \rho_ж g S (y_b - y_c)$
Разность координат $y_В$ и $y_С$ равна высоте бруска, обозначим её $h$ и подставим в формулу разности сил:
$F_b - F_c = \rho_ж g S h$
Разность сил давления, действующих на верхнюю и нижнюю часть бруска, называется силой Архимеда.
Сила Архимеда равна произведению плотности жидкости, в которой находится тело, ускорения свободного падения и объёма погруженной части тела. Как и все силы, сила Архимеда измеряется в ньютонах.
$F_{\text{Арх}} = \rho_ж g V_{\text{погр}}$
Стоит отметить, что произведение плотности жидкости на объём погруженной части тела равняется массе вытесненной жидкости:
$\rho_ж V_{\text{погр}} = m_{\text{выт. жидк.}}$
Сама же сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости:
$F_{\text{Арх}} = m_{\text{выт. жидк.}} \cdot g$
Условие плавания тела
Рассмотрим тело, полностью погруженное в сосуд с жидкостью.
На тело действуют две силы: сила тяжести и сила Архимеда. Если сила Архимеда будет больше силы тяжести, то тело всплывёт:
$F_{\text{Арх}} > mg$
$\rho_\text{ж} g V > \rho_\text{т} g V$
Сократив на объём и ускорение свободного падения, получим:
$\rho_\text{ж} > \rho_\text{т}$
Таким образом, если плотность жидкости больше плотности тела, то тело будет плавать на поверхности.
Аналогично получим, что если плотность жидкости меньше плотности тела, то тело утонет:
$\rho_\text{ж} < \rho_\text{т}$
При одинаковых плотностях жидкости и тела, тело будет находиться в безразличном состоянии, то есть не будет всплывать и тонуть.
Для демонстрации проведём небольшой опыт. Поместим небольшую восковую свечу в стакан с водой, так как плотность воды больше, чем плотность воска, то свеча всплывёт на поверхность.
Заменим воду на растительное масло, плотность которого меньше, чем у воды и воска. В данном случае свеча утонет и будет покоиться на дне стакана.
Изучим зависимость объёма погруженной части тела от плотности жидкости, в которой находится тело. В качестве исследуемого образца возьмём тело цилиндрической формы, плотность которого меньше, чем у спирта. Поместим его в 3 одинаковых по форме стакана, наполненных водой, растительным маслом и спиртом:
Исходя из наблюдаемой картины можно сделать вывод, что при понижении плотности жидкости, объём погруженной части тела увеличивается.
Так как тела находятся в состоянии покоя, то сила Архимеда равна силе тяжести:
$mg = \downarrow \rho_ж g V_{\text{погр}} \uparrow$
По формуле видим, что при уменьшении плотности жидкости, увеличивается объём погруженной части, однако сама сила Архимеда у плавающих тел равна силе тяжести и не меняется при смене жидкости.
Практикум: решение задач
Задание 1
На дне пруда лежит медный шарик объёмом 12 см³. Определите выталкивающую силу, действующую на шарик. Плотность меди принять равной 8,9 г/см³. Ответ выразите в ньютонах.
Дано:
$V = 12 \text{ см}^3$
$\rho_м = 8{,}9 \text{ г/см}^3$
$F_{\text{арх}}$ — ?
Выталкивающая сила — сила Архимеда, она равна:
$F_{\text{арх}} = \rho_ж g V_{\text{погр}} = 1000 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 10^{−6} = 0{,}12 \text{ Н}$
В данном случае погружённый объём равен объёму шарика $V_{\text{погр}} = V_{\text{шарика}}$, а плотность жидкости равна плотности воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$.
$1 \text{ см} = 10^{−2} \text{ м}$
$1 \text{ см}^3 = 10^{−6} \text{ м}^3$
Шарик лежит на дне, но касается поверхности только в одной точке, под него подтекает вода и на остальные погруженные в воду части шарика действует выталкивающая сила, поэтому она не будет равна нулю.
Ответ: 0,12 Н.
Задание 2
Подвешенный на нити полый шарик массой 10 г погрузили в воду. Сила Архимеда, действующая на шарик, равна 0,08 Н. Определите силу натяжения нити. Ответ дайте в ньютонах.
Дано:
$m = 10 \text{ г} = 10^{−3} \cdot 10 = 10^{−2} \text{ кг}$
$F_{\text{арх}} = 0{,}08 \text{ Н}$
$T$ — ?
Запишем второй закон Ньютона:
$T − mg + F_{\text{арх}} = 0$
$T = mg − F_{\text{арх}} = 10^{−2} \cdot 10 − 0{,}08 = 0{,}02 \text{ Н}$
Ответ: 0,02 Н.
Задание 3
Деревянный брусок плавает на поверхности керосина. На брусок действует сила Архимеда, равная 1 Н. Чему равна масса бруска? Ответ выразите в граммах.
Дано:
$F_{\text{арх}} = 1 \text{ Н}$
$m$ — ?
Так как брусок плавает, то $F_{\text{арх}} = mg$:
$m = \frac{F_{\text{арх}}}{g} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \text{ кг} = 100 \text{ г}$
Ответ: 100 г.
Задание 4
Две одинаковых шайбы толщиной по 4 см, связанные друг с другом, плавают на поверхности керосина так, что уровень жидкости приходится на границу между телами (см. рисунок). На сколько увеличится глубина погружения стопки шайб, если добавить к ней ещё одну такую же шайбу? Ответ дайте в сантиметрах.
Дано:
$d = 4 \text{ см}$
Запишем второй закон Ньютона:
$2mg = F_{\text{арх}}$
$F_{\text{арх}} = \rho_ж g V_T$
$m = \rho_T V_T$
$2 \rho_T V_T g = \rho_ж g V_T \Rightarrow \rho_ж = 2\rho_T$, то есть плотность жидкости в два раза больше плотности тела.
Если добавить ещё одну шайбу, то получится:
$3mg = F_{\text{арх2}}$
$3 \rho_T V_T g = \rho_ж g V_{\text{погр}}$
$V_{\text{погр}} = 3\frac{\rho_T}{\rho_ж} V_T = \frac{3}{2} V_T$
Изначально глубина погружения была $d$, во втором опыте она будет равна $1{,}5d$.
$1{,}5d − d = 0{,}5d = 0{,}5 \cdot 4 = 2 \text{ см}$
Ответ: 2 см.
Задание 5
Шар объёмом 500 м³, заполненный газом плотностью 0,7 кг/м³, висит неподвижно в воздухе на некоторой высоте. Масса оболочки шара равна 60 кг. Определите плотность воздуха на этой высоте. Ответ выразите в кг/м³.
Дано:
$V = 500 \text{ м}^3$
$\rho_г = 0{,}7 \text{ кг/м}^3$
$m_{\text{об}} = 60 \text{ кг}$
Запишем второй закон Ньютона:
$F_{\text{арх}} − m_г g − m_{\text{об}} g = 0$
$\rho_в g V − \rho_г V g − m_{\text{об}} g = 0$
$\rho_в V − \rho_г V − m_{\text{об}} = 0$
$\rho_в = \rho_г + \frac{m_{\text{об}}}{V} = 0$
$\rho_в = 0{,}7 + \frac{60}{500} = 0{,}82 \text{ кг/м}^3$
Ответ: 0,82 кг/м³.
Задание 6
К нижнему концу нити, верхний конец которой прикреплён к потолку, подвесили стальной кубик. Кубик полностью погрузили в сосуд с керосином так, чтобы он не касался дна и стенок сосуда. Определите изменение модуля выталкивающей силы, действующей на кубик, и модуля силы гидростатического давления, оказываемого толщей жидкости на его верхнюю грань, при увеличении глубины погружения кубика.
Для каждой величины выберите соответствующий характер изменения:
- увеличится;
- уменьшится;
- не изменится.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Модуль выталкивающей силы | Модуль силы гидростатического давления |
|---|---|
Сделаем рисунки до и после:
Сила Архимеда не зависит от глубины, она зависит только от объёма погруженной части. Значит она не изменится.
Запишем формулу гидростатического давления:
$p_1 = \rho g h_1 \rightarrow p_2 = \rho g h_2$
$p \uparrow = \rho g h \uparrow$
Гидростатическое давление увеличивается.
$F \uparrow = p \uparrow S$, значит и модуль силы гидростатического давления увеличивается.
Ответ: 31.
Заключение
Сила Архимеда — это обычная разница давлений снизу и сверху. Она зависит только от плотности жидкости и объёма погружённой части тела. Глубина тут ни при чём.
Главное правило плавания запомнить легко:
- плотность тела меньше плотности жидкости → всплывает;
- больше → тонет;
- равны → висит в толще.
А если тело плавает, то сила Архимеда всегда равна его весу — и не важно, в какой жидкости оно находится. Осталось начать применять закон Архимеда в жизни: в бассейне, в ванной или на уроке физики.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
