Сила Лоренца и её характеристики
При движении любой заряженной частицы в магнитном поле на неё действует сила Лоренца.
Сила Лоренца — это сила, с которой магнитное поле действует на движущийся в нём точечный заряд.
Величина силы Лоренца определяется по формуле:
$F_{\text{л}} = q \cdot B \cdot v \cdot \sin\alpha$
Где:
$v$ – скорость движения точечного заряда, [м/с];
$\alpha$ – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции, [град].Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки, при этом она всегда перпендикулярна вектору магнитной индукции и скорости частицы.
Движение по окружности
Когда угол между вектором магнитной индукции и скоростью частицы равен 90°, частица движется по окружности.
По второму закону Ньютона:
$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$
Воспользуемся формулой силы Лоренца и центростремительного ускорения:
$F_{\text{л}} = q B v \cdot \sin 90^\circ = q B v$
$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}$
где $R$ — радиус окружности.
$q B v = m \frac{v^2}{R}$
Из полученной формулы выразим радиус:
$R = \frac{m v}{B q}$
Период обращения частицы при движении с постоянной скоростью можно найти по формуле: $T = \frac{S}{v}$.
В данном случае путь равен длине окружности $S = 2 \pi R$, тогда период:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$
Подставив ранее полученную формулу радиуса окружности, получим:
$T = \frac{2 \pi m}{B q}$
Как видно из формулы, период обращения не зависит от скорости частицы.
Движение по прямой
Когда угол $\alpha$ между вектором магнитной индукции и скоростью частицы равен 0°, то есть частица летит параллельно линиям магнитной индукции, траекторией движения частицы будет являться прямая.
Это происходит из-за того, что при $\alpha = 0^\circ$ сила Лоренца $F_{\text{л}} = q B v \cdot \sin 0^\circ = 0$.
Движение по спирали
Когда угол между вектором магнитной индукции и скоростью частицы не равен 90° и 0°, частица движется по спирали.
В этом случае нужно разложить скорость частицы $v$ на две проекции:
• $v_{\perp}$ — направлена перпендикулярно вектору индукции;
• $v_{\parallel}$ — направлена параллельно вектору индукции.
$v_{\perp} = v \cdot \sin\alpha$ отвечает за вращательное движение.
$v_{\parallel} = v \cdot \cos\alpha$ отвечает за равномерный перенос частицы вдоль линии индукции.
За счёт этой составляющей скорости окружность вытягивается в спираль.По второму закону Ньютона:
$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$
Воспользуемся формулой силы Лоренца и центростремительного ускорения:
$F_{\text{л}} = q B v_{\perp} = q B v \cdot \sin\alpha$
$a_{\text{ц}} = \frac{v_{\perp}^2}{R} = \frac{v^2 \cdot \sin^2 \alpha}{R}$
Где $R$ — радиус окружности.
$qBv \cdot \sin \alpha = m \cdot \frac{v^2 \cdot \sin^2 \alpha}{R}$
Из полученной формулы выразим радиус:
$R = \frac{mv \cdot \sin \alpha}{Bq}$
Период обращения частицы при движении с постоянной скоростью можно найти по формуле:
$T = \frac{S}{v}$
В данном случае путь равен длине окружности $S = 2\pi R$, тогда период:
$T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}} = \frac{2\pi R}{v \cdot \sin \alpha}$
Подставив формулу радиуса окружности, получим:
$T = \frac{2\pi m}{Bq}$
Как видно из формулы, период обращения не зависит от скорости частицы и угла между скоростью и вектором индукции.
Расстояние, на которое смещается частица вдоль линии индукции за один оборот, называется шаг спирали и обозначается $h$.
По формуле равномерного движения $h = v_{\parallel} T$ получим:
$h = v \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi m}{Bq} = \frac{2\pi mv \cdot \cos \alpha}{Bq}$
Задание 1
В однородном магнитном поле, образованном между полюсами постоянного магнита, под действием силы Лоренца по окружности движется протон. После замены магнита по такой же траектории с такой же скоростью стала двигаться α-частица. Определите, как при этом изменились модуль индукции магнитного поля и модуль силы Лоренца. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
- увеличилась,
- уменьшилась,
- не изменилась.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем таблице. Цифры в ответе могут повторяться.
| Модуль индукции магнитного поля | Модуль силы Лоренца |
|---|---|
Протон имеет заряд $q_1 = q$, массу $m$.
Альфа-частица имеет два протона и два нейтрона, заряд равен $q_2 = 2q$, а масса $4m$.
$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$
$qvB = m \frac{v^2}{R}$
$v = \frac{qBR}{m}$
В первом случае:
$v = \frac{q B_1 R}{m}$
Во втором случае:
$v = \frac{2 q B_2 R}{4 m} = \frac{q B_2 R}{2 m}$
Приравняем скорости:
$\frac{q B_1 R}{m} = \frac{q B_2 R}{2 m}$
$B_1 = \frac{B_2}{2} \Rightarrow B_2 = 2 B_1$, модуль индукции магнитного поля увеличился.
Сила Лоренца увеличилась в 4 раза: $\uparrow_{\text{в } 4} F_{\text{л}} = q \uparrow_{\text{в } 2} v B \uparrow_{\text{в } 2}$
Ответ: 11.
Задание 2
В однородном магнитном поле, модуль вектора магнитной индукции которого B, под действием силы Лоренца движется по окружности радиусом R заряженная частица массой m, обладающая зарядом q. Силой тяжести, действующей на заряд, пренебречь. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
| ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ | ФОРМУЛЫ |
|---|---|
А) период обращения частицы Б) модуль силы Лоренца |
|
| А | Б |
|---|---|
$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$
$qvB = m \frac{v^2}{R}$
$v = \frac{qBR}{m}$
$F_{\text{л}} = qB \cdot \frac{qBR}{m} = \frac{q^2 B^2 R}{m}$ — подходит формула 1.
$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi Rm}{qBR} = \frac{2\pi m}{qB}$ — подходит формула 3.
Ответ: 31.
Задание 3
В ходе лабораторной работы были собраны две экспериментальные установки. В первой установке положительно заряженная частица влетает в однородное электрическое поле так, что вектор скорости $\vec{v}_0$ направлен вдоль вектора напряжённости поля $\vec{E}$ (рис. 1). Во второй установке вектор скорости $\vec{v}_0$ такой же частицы перпендикулярен линиям индукции магнитного поля $\vec{B}$ (рис. 2). Установите соответствие между экспериментальной установкой и траекторией движения частицы в ней. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
| ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ | ТРАЕКТОРИЯ |
|---|---|
| А) в первой установке | 1) прямая линия |
| Б) во второй установке | 2) окружность |
| 3) спираль | |
| 4) парабола |
| А | Б |
|---|---|
В электрическом поле траекторией движения частицы является прямая линия, сила и скорость лежат на одной прямой.
Во второй установке:
По правилу левой руки, сила Лоренца направлена влево. Сила перпендикулярна скорости, частица будет двигаться по окружности.
Ответ: 12.
Задание 4
В первой экспериментальной установке положительно заряженная частица влетает в однородное электрическое поле так, что вектор $\vec{v}_0$ перпендикулярен вектору напряжённости электрического поля $\vec{E}$ (рис. 1). Во второй экспериментальной установке вектор $\vec{v}_0$ такой же частицы направлен под углом к вектору индукции магнитного поля $\vec{B}$ (рис. 2). По каким траекториям движутся частицы в этих установках? Силу тяжести не учитывать.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
| ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ | ТРАЕКТОРИЯ |
|---|---|
| А) в первой установке | 1) прямая линия |
| Б) во второй установке | 2) окружность |
| 3) спираль | |
| 4) парабола |
| А | Б |
|---|---|
Первая установка:
Напряжённость направлена к наблюдателю, значит $F_э$ также направлена к наблюдателю. Частица будет приобретать скорость, направленную к наблюдателю. В совокупности со скоростью, которую частица имела изначально, траекторией движения будет являться парабола.
Вторая установка:
Частица имеет две составляющие скорости, вертикальную и горизонтальную.
За счёт вертикальной составляющей тело будет двигаться по окружности, а за счёт постоянной горизонтальной скорости — по прямой. В конечном итоге из-за совокупности движения по прямой и движения по окружности тело будет двигаться по спирали.
Ответ: 43.
Задание 5
В рамку с областью действия магнитной индукции $\vec{B}$, равной B = 0,12 Тл, в точке 1 влетает частица со скоростью $6 \cdot 10^5$ м/с, а вылетает в точке 2 (см. рисунок). Чему равно отношение заряда частицы к её массе $\frac{q}{m}$, если расстояние D = 25 см?
Дано:
$B = 0,12$ Тл
$v = 6 \cdot 10^5$ м/с
$D = 25$ см $= 0,25$ м
$\frac{q}{m}$ – ?
$D = 2R$
Частица будет двигаться по окружности, по правилу левой руки сила Лоренца направлена вниз.
$F_{\text{л}} = m a_{\text{ц}}$
$qvB = m \frac{v^2}{R}$
$v = \frac{qBR}{m}$
$R = \frac{D}{2}$
$\frac{q}{m} = \frac{v}{BR} = \frac{2v}{BD} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 10^5}{0,12 \cdot 0,25} = 40 \cdot 10^6 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$
Ответ: $40 \cdot 10^6 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
