Вывод формулы
Одной из основных формул в геометрической оптике является формула тонкой линзы.
Рассмотрим предмет АВ, изображение которого получено графически:
Из подобия треугольников ABO и A’B’O следует равенство:
$\frac{H}{h} = \frac{f}{d}$
Также подобны треугольники COF₂ и A’B’F₂, откуда:
$\frac{CO}{OF_1} = \frac{A’B’}{B’F_2}$
$CO = h$
$OF_2 = F$
$B’F_2 = f − F$
$A’B’ = H$
Откуда,
$\frac{h}{F} = \frac{H}{f − F}$
$\frac{H}{h} = \frac{f − F}{F}$
Приравняем два полученных равенства:
$\frac{f}{d} = \frac{f − F}{F}$
Выполним преобразования и получим формулу тонкой линзы:
$\frac{f}{d} = \frac{f}{F} − 1$
Разделим обе части уравнения на f:
$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} − \frac{1}{f}$
или
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
Данная формула работает для всех тонких линз, однако в случае с мнимым изображением расстояние от изображения до линзы f будет являться отрицательным. Воспользовавшись тем, что для отрицательных значений $f = − |f|$, получим:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{|f|}$
Для тонкой рассеивающей линзы как фокусное расстояние F, так и расстояние от изображения до линзы f, будут отрицательными:
$− \frac{1}{|F|} = \frac{1}{d} − \frac{1}{|f|}$
Примеры решения задач
Задание 1
Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой 2 дптр. На каком расстоянии от линзы находится изображение источника, если он удалён от линзы на пять фокусных расстояний? Ответ дайте в см.
Дано:
D = 2 дптр
d = 5F
f — ?
Запишем формулу тонкой собирающей линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{5F} + \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{F} − \frac{1}{5F} = \frac{4}{5F} \Rightarrow f = \frac{5}{4}F$
По формуле оптической силы линзы, $D = \frac{1}{F} \Rightarrow F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ м}$
$f = \frac{5}{4}F = \frac{5}{4} \cdot 0,5 = 0,625 \text{ м.}$
Ответ: 62,5 см.
Задание 2
С помощью тонкой рассеивающей линзы получают изображение предмета высотой 20 см, при этом изображение находится на расстоянии 25 см от линзы. Каков модуль оптической силы данной линзы, если высота изображения равна 5 см?
Дано:
h = 20 см
|f| = 25 см
H = 5 см
D — ?
$F < 0, f < 0$, так как линза рассеивающая
$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{|f|}{d} \Rightarrow d = |f|\frac{h}{H} = 25 \cdot \frac{20}{5} = 100 \text{ см} = 1 \text{ м}$
Запишем формулу тонкой линзы:
$− \frac{1}{|F|} = \frac{1}{d} − \frac{1}{|f|}$
Оптическая сила линзы находится по формуле:
$|D| = \frac{1}{|F|}$
$|D| = \frac{1}{|F|} = \frac{1}{|f|} − \frac{1}{d} = \frac{1}{0,25} − \frac{1}{1} = 3 \text{ дптр.}$
Ответ: 3 дптр.
Задание 3
Предмет расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Оптическая сила линзы D = 2 дптр. Изображение предмета действительное, увеличение (отношение высоты изображения предмета к высоте самого предмета) k = 2. Найдите расстояние между предметом и его изображением.
Дано:
D = 2 дптр
Г = k = $\frac{H}{h}$ = 2
и — ?
Изображение предмета увеличенное, значит предмет находится между фокусом и двойным фокусом.
Сделаем рисунок:
Найдём фокусное расстояние линзы по формуле $D = \frac{1}{F}$:
$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ м}$
Искомое $b = f + d$
$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} \Rightarrow f = \Gamma d$
Запишем формулу тонкой линзы и подставим полученное значение $f$:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{d} = \frac{1}{\Gamma d} + \frac{1}{d};$
$\frac{1}{0,5} = \frac{1}{2d} + \frac{1}{d} \Rightarrow 2 = \frac{3}{2d} \Rightarrow d = \frac{3}{4} = 0,75 \text{ м}$
$f = \Gamma \cdot d = 2 \cdot 0,75 = 1,5 \text{ м}$
$b = f + d = 0,75 + 1,5 = 2,25 \text{ м.}$
Ответ: 2,25 м.
Задание 4
С помощью тонкой рассеивающей линзы получают в 4 раза уменьшенное изображение предмета, находящееся на некотором расстоянии от линзы. Каково это расстояние, если модуль фокусного расстояния линзы равен 16 см?
Дано:
Г = $\frac{H}{h}$ = 14
|F| = 16 см
|f| — ?
$F < 0, f < 0$, так как линза рассеивающая.
Запишем формулу тонкой линзы:
$− \frac{1}{|F|} = \frac{1}{d} − \frac{1}{|f|}$
$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{|f|}{d} \Rightarrow |f| = \Gamma d$
$− \frac{1}{|F|} = \frac{1}{d} − \frac{1}{\Gamma d};$
$\frac{1}{\Gamma d} − \frac{1}{d} = \frac{1}{|F|}$
$\frac{1}{d}(\frac{1}{\Gamma} − 1) = \frac{1}{|F|} \Rightarrow d = |F|(\frac{1}{\Gamma} − 1) = 16 \cdot (\frac{1}{\frac{1}{4}} − 1) = 48 \text{ см}$
$|f| = \Gamma d = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12 \text{ см.}$
Ответ: 12 см.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
