Введение
Катушка индуктивности — это прибор спиральной формы, выполненный из проводящего материала и способный накапливать внутри себя энергию магнитного поля.
Величина магнитного потока, пронизывающего катушку, пропорциональна величине электрического тока, протекающего по ней:
Коэффициентом пропорциональности в этом выражении является индуктивность катушки, она обозначается буквой L и измеряется в генри [Гн]. Индуктивность — основная характеристика катушки, которая определяет её способность накапливать энергию магнитного поля, а также способность препятствовать изменению протекающего по ней тока.
Величина магнитного потока, пронизывающего катушку индуктивности, равна произведению индуктивности на силу электрического тока в катушке:
$\Phi = LI$
Индуктивность катушки зависит от её геометрических характеристик (длины, площади поперечного сечения и количества витков), а также от материала сердечника, находящегося внутри. При изменении силы тока индуктивность меняться не будет. Для неё есть формула, аналогичная формуле ёмкости конденсатора:
$L = \frac{\mu \mu_0 N^2 S}{l}$
Важно: этой формулы нет в кодификаторе, и для ЕГЭ её знать не нужно.
Самоиндукция
При изменении тока, протекающего по катушке, изменяется величина магнитного потока, значит, в ней возникает ЭДС самоиндукции.
Самоиндукция — это явление возникновения ЭДС индукции в контуре при изменении электрического тока в этом контуре.
$\xi_c = −\Phi'(t) = −LI'(t)$
При равномерном изменении силы тока значение ЭДС самоиндукции следует вычислять по формуле:
$\xi_c = −L \frac{\Delta I}{\Delta t}$
При решении вычислительных задач используют значение ЭДС, взятое по модулю:
$\xi_c = \left| L \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$
$\xi_c = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$
Чем отличается ЭДС самоиндукции от ЭДС индукции
ЭДС самоиндукции возникает из-за изменения величины электрического тока, а ЭДС индукции — из-за изменения величины магнитного потока, пронизывающего контур.
Рассмотрим замкнутую катушку, к которой подносят магнит. Из-за увеличения магнитного потока, пронизывающего катушку, в ней возникает ЭДС индукции.
Если же катушка включена в электрическую цепь, состоящую из источника тока и реостата, то при перемещении ползунка реостата вправо внешнее сопротивление цепи увеличивается. Следовательно, по закону Ома для полной цепи сила тока уменьшится. В результате в катушке возникает ЭДС самоиндукции.
Магнитный поток через катушку индуктивности
Рассмотрим катушку, находящуюся в магнитном поле. Величина магнитного потока, пронизывающего катушку, равна произведению количества витков катушки N на величину магнитного потока, пронизывающего один виток площадью S:
Электрический ток через катушку при замыкании ключа
Рассмотрим электрическую схему, состоящую из катушки индуктивности, резистора, источника тока и ключа.
После замыкания ключа ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, будет препятствовать изменению тока и будет равна ЭДС источника, следовательно, ток в цепи протекать не будет. Спустя некоторое время значение ЭДС самоиндукции уменьшится, и катушка начнёт пропускать электрический ток. Его значение будет определяться по формуле:
$I = \frac{\xi − \xi_c}{R_{\text{общ}} + r}$
Спустя длительное время значение ЭДС самоиндукции станет близким к нулю, и катушка превратится в проводник. Силу тока в цепи можно будет найти по закону Ома для полной цепи:
$I = \frac{\xi}{R_{\text{общ}} + r}$
Энергия магнитного поля катушки
При протекании электрического тока по катушке в ней накапливается энергия магнитного поля. Значение этой энергии можно найти по формуле:
$W_L = \frac{LI^2}{2}$
Задание 1
Через катушку индуктивности протекает ток $I = 0,4$ А, при этом энергия магнитного поля катушки $W_L = 0,5$ Дж. Чему равен пронизывающий витки обмотки катушки магнитный поток? Ответ выразите в Вб.
$W_i = \frac{LI^2}{2}$
$\Phi = LI \Rightarrow L = \frac{\Phi}{I}$
$W_i = \frac{\Phi}{I} \cdot \frac{I^2}{2} = \frac{\Phi I}{2}$
$\Phi = \frac{2W_i}{I} = \frac{2 \cdot 0{,}5}{0{,}4} = 2{,}5 \text{ Вб}$
Ответ: 2,5 Вб.
Задание 2
В электрическую цепь, в которой сила тока меняется со временем согласно графику, представленному на рисунке, включена катушка. Найдите индуктивность катушки, если модуль ЭДС самоиндукции, возникающей в ней в интервале времени от 15 до 20 с, равен 60 мкВ. Ответ выразите в мГн.
$\varepsilon_c = 60 \cdot 10^{−6} \text{ В}$
Из графика:
$\Delta I = 40 − 0 = 40 \text{ мА} = 40 \cdot 10^{−3} \text{ А}$
$\Delta t = 20 − 15 = 5 \text{ с}$
$\varepsilon_c = L \frac{\Delta I}{\Delta t} \Rightarrow L = \frac{\varepsilon_c \cdot \Delta t}{\Delta I} = \frac{60 \cdot 10^{−6} \cdot 5}{40 \cdot 10^{−3}} = 7,5 \text{ мГн}$
Ответ: 7,5 мГн.
Задание 3
При пропускании через катушку индуктивности тока силой 8 А магнитный поток через контур, ограниченный витками катушки, равен 1 мВб. Чему равна величина пронизывающего контур этой катушки магнитного потока при пропускании через неё тока силой 2,4 А? Ответ выразите в мВб.
$\Phi_1 = LI_1$
$\Phi_2 = LI_2$
Поделим одно уравнение на другое:
$\frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \frac{I_2}{I_1} \Rightarrow \Phi_2 = \Phi_1 \frac{I_2}{I_1} = 10^{−3} \cdot \frac{2,4}{8} = 0,3 \text{ мВб}$
Ответ: 0,3 мВб.
Задание 4
Через катушку индуктивностью 8 мГн протекает ток, при этом его сила равномерно уменьшается от некоторого значения до 5 А за 2 с. Чему равно начальное значение силы тока, если при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, равная 8,4 мВ? Ответ дайте в А.
$|\Delta I| = I_0 − 5\text{А}$ — по условию, где $I_0$ — начальная сила тока.
$\varepsilon_c = \frac{L|\Delta I|}{\Delta t} \Rightarrow \Delta I = \frac{\varepsilon_c \cdot \Delta t}{L}$
$(I_0 − 5) = \frac{8,4 \cdot 10^{−3} \cdot 2}{8 \cdot 10^{−3}}$
$I_0 = 5 + 2,1 = 7,1 \text{ А}$
Ответ: 7,1 А.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
